(3.26)--1.1.1 向量代数复习02.pdfVIP

微分几何

第一章预备知识

§1.1.1向量代数复习

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一、导入

问题导入：为什么要研究向量函数？

在数学分析中，我们知道一元函数yf(x)的图像是xy平面上一条曲线；

二元函数zf(x,y)的图像是空间中的一张曲面.

yz

采用参数方程，zf(x,y)

空间一条曲线可以表示成：yf(x)(x,f(x))(x,y,f(x,y))

rr(t)(x(t),y(t),z(t)),

xx

这是一个向量函数，OO

它的三个分量都是一元函数.(x,y)

y

二、向量相关概念

1.向量：既有大小又有方向的量；表示：有向线段.AB,r,r.

2.特殊向量

1）单位向量；零向量0；反向量-Ԧ.

2）相等向量（大小和方向）;自由向量.

3）径向向量:始点在原点的向量.

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3.向量的分量：取定坐标系下，点POP{x,x,x}不加区别.

三、向量的运算

1.线性运算：加法与数乘：三角形（多边形）法则.三角不等式.

2.向量运算：

1）两个向量：

点（数量）积：ab:|a||b|cos=(a,b);几何意义？

基本性质：对称，双线性.

ab0=a⊥b.

叉（向量）积：ab:|a||b|sin=(a,b)e;几何意义？

基本性质：反称，双线性.

ab0=a//b.

三、向量的运算

2）多个向量：

混合积：(ab)c:(a,b,c)(b,c,a)−(a,c,b);几何意义？

(a,b,c)0=a,b,c共面.坐标算法？

二重向量积：(ab)c(a=c)b−(bc)a;

Lagrange恒等式：(aa)(aa)

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aaaa