第14讲 函数模型及其应用（解析版）.docxVIP

第14讲函数模型及其应用

基础知识

1.三种函数模型的性质的比较

函数性质

y=ax(a1)

y=logax(a1)

y=xn(n0)

在(0,+∞)上的增减性

单调

?

单调

?

单调

?

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

2.常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)

二次函数模型

f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

反比例函数模型

f(x)=kx+b(k,b为常数且k

指数函数模型

f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)

对数函数模型

f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)

幂函数模型

f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)

1.递增递增递增

常用结论

1.函数f(x)=xa+bx(a0,b0,x0)在区间(0,ab]上单调递减,在区间[ab,+∞

2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸.

分类训练

探究点一用函数图象刻画变化过程

例1水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水的速度如图2-14-2甲、乙所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示,给出以下3个论断:

图2-14-2

①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.

则一定正确的论断是 ()

A.① B.①②

C.①③ D.①②③

例1[思路点拨]蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速度大于进水速度,再结合具体数据进行分析.

A[解析]由甲、乙图得进水速度为1,出水速度为2,∴①0时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2,只进水不出水(即两个进水口都进水),故①正确;②不进水只出水1小时后,蓄水量减少2,故②错误;③若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量保持不变,故③不一定正确.故选A.

[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时,首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变换趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.

变式题某公司的一品牌电子产品,2020年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份,公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2020年该产品销售量的变化情况的图象是 ()

图2-14-3

变式题C[解析]由题意,一月份至四月份,该产品销售量的变化情况的图像所对应的函数单调递减,排除B,D;九月份,产品销量猛增,C项更符合题意.故选C.

探究点二已知函数模型解决实际问题

例2根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx,xA,cA,x≥A(A,c

A.75,25 B.75,16

C.60,25 D.60,16

例2[思路点拨]利用待定系数法可以求得相关值.

D[解析]由题意可得f(A)=cA=15,所以c=15A,而f(4)=c4=30,所以15A2=30,故A=4,可得A=16,从而c=15A=

[总结反思]用已知函数解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际意义,然后建立好数学模型,合理地运用函数的基本性质解决问题.

变式题受疫情影响,某电器厂生产的空调滞销,经研究决定,在已有线下门店销售的基础上,成立线上营销团队,大力发展“网红”经济,当线下销售人数为a(a∈N*)时,每天线下销售空调可达m(a)=10a(百台),当线上销售人数为b(b∈N*)时,每天线上销量达到n(b)=b2,0

(1)解不等式m(a)n(a),并解释其实际意义.

(2)若该工厂有销售人员t(t∈N*)人,按市场需求,安排人员进行线上或线下销售,问该工厂每天销售空调总台数(单位:百台)的最大值是多少?

变式题解:(1)当0a≤20时,不等式为10aa2,得10a≤20;

当a20时,不等式为10a400,得20a40.

综上,不等式的解集为(10,40),其实际意义为在相同的销售人数下,当销售人数在10到40之间时,线上销售的效果会比线下销售的效果好.

(2)设安排线上销售x人,则安排线下销售t-x人.

当t≤20时,0≤x≤20,每天的销售总台数(单位:百台)为f(x)=x2+10(t-x),

∴当t10时,f(x)在x=0时取得最大值,最大值为10t.

当10≤t≤20时,f(x)在x=t时取得最大值,最大值为t2.

当t20时,若0≤x≤20,则每天的销售总台数(单位:百台)为f(x)=x2+10(t-x),其在x=20时