第14讲 函数模型及其应用（原卷版）.docxVIP

第14讲函数模型及其应用

基础知识

1.三种函数模型的性质的比较

函数性质

y=ax(a1)

y=logax(a1)

y=xn(n0)

在(0,+∞)上的增减性

单调

?

单调

?

单调

?

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

2.常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)

二次函数模型

f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

反比例函数模型

f(x)=kx+b(k,b为常数且k

指数函数模型

f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)

对数函数模型

f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)

幂函数模型

f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)

常用结论

1.函数f(x)=xa+bx(a0,b0,x0)在区间(0,ab]上单调递减,在区间[ab,+∞

2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸.

分类训练

探究点一用函数图象刻画变化过程

例1水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水的速度如图2-14-2甲、乙所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示,给出以下3个论断:

图2-14-2

①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.

则一定正确的论断是 ()

A.① B.①②

C.①③ D.①②③

[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时,首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变换趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.

变式题某公司的一品牌电子产品,2020年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份,公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2020年该产品销售量的变化情况的图象是 ()

图2-14-3

探究点二已知函数模型解决实际问题

例2根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx,xA,cA,x≥A(A,c

A.75,25 B.75,16

C.60,25 D.60,16

[总结反思]用已知函数解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际意义,然后建立好数学模型,合理地运用函数的基本性质解决问题.

变式题受疫情影响,某电器厂生产的空调滞销,经研究决定,在已有线下门店销售的基础上,成立线上营销团队,大力发展“网红”经济,当线下销售人数为a(a∈N*)时,每天线下销售空调可达m(a)=10a(百台),当线上销售人数为b(b∈N*)时,每天线上销量达到n(b)=b2,0

(1)解不等式m(a)n(a),并解释其实际意义.

(2)若该工厂有销售人员t(t∈N*)人,按市场需求,安排人员进行线上或线下销售,问该工厂每天销售空调总台数(单位:百台)的最大值是多少?

探究点三构建函数模型解决实际问题

角度1构建二次函数模型

例3某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元,可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x元(1≤x≤50,x∈N*),则租出的车辆会相应减少4x辆.

(1)求该汽车租赁公司每天的收入y(元)关于x的函数关系式.

(2)若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元,则每辆汽车的租金可定为多少元?

[总结反思]在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中.

变式题某企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资额成正比,设比例系数为k1,其关系如图2-14-4①;B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,设比例系数为k2,其关系如图②.(注:利润与投资额单位是万元)

(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资额的函数,并求出k1,k2的值,写出它们的函数关系式.

(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资额,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?

图2-14-4

角度2构建指数、对数函数模型

例4候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量M之间的关系为v=a+blog3M-1510(其中a,b

(1)求出a,b的值.

(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?

[总结反思]在求解与指数函数、对数函数有关的实际问题时,要学会合理选择模型.