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第14讲拓展二:三角函数中参数的取值范围问题
题型01的取值范围与单调性相结合
【典例1】(2023上·江苏·高三校联考阶段练习)已知函数在上单调递减,则ω的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】令,得.
由可得,.
因为,所以,所以;
又,所以,所以.
所以,,此时有.
故选:B.
【典例2】(2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测)已知函数的周期为,且满足,若函数在区间不单调,则的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】已知,
令,解得
则函数对称轴方程为
函数在区间不单调,
,解得,
又由,且,得,
故仅当时,满足题意.
故选:C.
【典例3】(2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习)已知函数在上单调递增,则取值范围是.
【答案】
【详解】令,解得,
所以的单调递增区间为,
因为在上单调递增,所以,解得,
所以.
故答案为:
【变式1】(2023上·辽宁·高三校联考开学考试)已知函数在上单调递增,在上单调递减,则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】当时,,
因为在上单调递增,所以,解得.
当时,,
因为,所以.
因为在上单调递减,所以且,解得,
又,所以的取值范围是.
故选:A
【变式2】(2023上·河北保定·高三校联考阶段练习)已知函数满足,且在上单调,则的最大值为.
【答案】3
【详解】由题可得,
由,且在上单调,
得的图像关于点中心对称,
因为直线与直线关于直线对称,结合的图像对称性,
所以在上单调,得,
又,所以,故的最大值为3.
故答案为:3.
【变式3】(2023下·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中)已知函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为.
【答案】
【详解】由题意有,可得,
又由,在上为减函数,故必有,可得.
故实数的取值范围为.
故答案为:
题型02的取值范围与对称性相结合
【典例1】(2023上·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习)若存在实数,使得函数的图象关于直线对称,则的取值范围为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为,且,则,
若函数的图象关于直线对称,
则,解得.
故选:C.
【典例2】(2023·全国·高三专题练习)已知函数在上是单调函数,其图像的一条对称轴方程为,则的值不可以是(????)
A. B.
C.1 D.
【答案】B
【详解】由,得,
由题意得,所以,所以,1,.
故选:B.
【变式1】(2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习)已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在上单调,则的最大值为(????)
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】C
【详解】因为,为图象的对称轴,
所以,即,所以,即为正奇数.
因为在上单调,则,即,解得:.
观察选项,小于等于且为正奇数的有:,
当时,,
因为,所以,此时.
当时,,
此时在单调递减,符合题意;
故的最大值为9.
故选:C.
题型03的取值范围与三角函数的最值相结合
【典例1】(2023上·上海浦东新·高三校考期中)奇函数在区间上恰有一个最大值和一个最小值,则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为为奇函数,
所以,即,所以,
当时,则,
所以,解得,
故选:C.
【典例2】(2023下·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末)设函数在上恰有2个零点,且的图象在上恰有2个最高点,则的取值范围是.
【答案】
【详解】因为,则,
而函数在上恰有2个零点,且的图象在上恰有2个最高点,
因此,即,
当时,不符合题意,
当时,不等式组为,不等式组无解,
当时,不等式组为,解得,
当时,不等式组无解,
所以的取值范围是.
故答案为:
【变式1】(2023下·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习)已知,且在区间上有最大值,无最小值,则的值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为,
所以函数的图象关于对称,
且在区间上有最大值,无最小值,
所以,
所以,
所以,
当时,,
当时,,此时在区间内已存在最小值;
当时,,此时在区间内已存在最小值.
故选:A.
【变式2】(2023下·广西南宁·高二南宁三中校考期末)已知函数在区间上是增函数,且在区间上恰好取得一次最大值,则的取值范围是
【答案】
【详解】由,可得,
因为函数在区间上是增函数,
所以,解得,
由,得,
因为函数在区间上恰好取得一次最大值,
所以,解得,
综上的取值范围是.
故答案为:.
题型04的取值范围与三角函数的零点相结合
【典例1】(2023上·陕西咸阳·高三统考期中)已知
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