第13讲 余弦定理（五大题型）（解析版）.docxVIP

第13讲余弦定理

【题型归纳目录】

【知识点梳理】

知识点一、余弦定理

三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：

余弦定理的变形公式：

知识点二、利用余弦定理解三角形

利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；

②已知三角形的三条边，求其三个角．

知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．

知识点三、解三角形

我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．

【典型例题】

题型一：已知两边及一角解三角形

【例1】（2024·全国·高一随堂练习）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（????）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【解析】由余弦定理，

将，，，代入得，

则有，且，解得.

故选：B.

【变式1-1】（2024·全国·高一假期作业）在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（????）.

A．4 B．5 C．6 D．6或

【答案】C

【解析】由得，即，

又，，故，（舍），

故选：C

【变式1-2】（2024·江西萍乡·高一统考期中）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（????）

A．1 B．2 C．1或2 D．

【答案】C

【解析】在中，由余弦定理得：

整理得，，解得：或.

检验或满足题意，

故选：C.

题型二：已知三边解三角形

【例2】（2024·河南驻马店·高一校联考期中）在中，若，则角的值是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，由余弦定理可得，

因为，所以.

故选：C.

【变式2-1】（2024·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，已知，则角为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由及余弦定理的推论，得，

因为，

所以.

故选：B.

【变式2-2】（2024·全国·高一假期作业）在中角所对边满足，则（????）

A．4 B．5 C．6 D．6或

【答案】A

【解析】依题意，，

由余弦定理得

，解得.

故选：A

题型三：利用余弦定理判断三角形的形状

【例3】（2024·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（????）

A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形

【答案】A

【解析】由，得，

化简得，

所以由余弦定理得，

因为，所以，

所以，令，则

，得，得，

所以，

所以为直角三角形，

故选：A

【变式3-1】（2024·广西钦州·高一浦北中学校考阶段练习）在中，角对边为，且，则的形状为（????????）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【解析】因为，

所以，即，

所以，

在中，由余弦定理：，

代入得，，即，

所以.

所以直角三角形.

故选：B

【变式3-2】（2024·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且满足，则的形状为（????）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【解析】因为，由正弦定理可得，

，

因为，所以，

则有，

即，

所以，因为，所以，

整理可得，，即，因为，

所以或，则或（舍去）.

又因为，由正弦定理可得，

因为，所以，

则，化简整理可得，，

所以，又因为，所以为等边三角形，

故选：C.

【变式3-3】（2024·全国·高一专题练习）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（????）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【解析】由题知，，

所以，

所以，得，

所以，得，

所以的形状为直角三角形，

故选：A

题型四：余弦定理在实际问题中的应用

【例4】（2024·广东佛山·高一统考竞赛）在一个圆心角为，半径为1米的扇形铁板中按如图方式截出一块矩形，则该矩形的面积的最大值为平方米.

??

【答案】

【解析】设，则，连接，

于是在中，由余弦定理，

从而，当且仅当，即时取等号.

所以该矩形面积的最大值为平方米.

故答案为：.

【变式4-1】（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）有两个斜边长相等的直角三角板，其中一个为等腰直角三角形，另一个边长为3，4，5，将它们拼成一个平面四边形，则不是斜边的那条对角线长是.

【答案】/

【解析】如图所示，，，

，，，，

设，，，

，

∴在中，由余弦定理可得，，

∴.

故答案为：.

【变式4-2】（2024·全国·高一随堂练习）如图为一角槽示意图，已知，，并量得mm，mm，mm，则，．（精确到