第13讲 线性回归分析（九大题型）（解析版）.docxVIP

第13讲线性回归分析

【题型归纳目录】

【知识点梳理】

1、相关关系

两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．

2、正相关、负相关

从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关．

3、线性相关

一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关．

一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．

4、相关系数的计算

注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量

假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，，分别除和（和分别为，和的均值），得，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，则变量和变量的样本相关系数的计算公式如下：．

5、一元线性回归模型

我们称为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的末知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差．

6、线性回归方程与最小二乘法

回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征

我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计（leastsquaresestimate），

其中

7、残差的概念

对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．

8、刻画回归效果的方式

（1）残差图法

作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．

（2）残差平方和法

残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．

【典型例题】

题型一：相关关系的理解

【例1】（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）下列两个量之间的关系是相关关系的是（????）

A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高

C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量

【答案】C

【解析】A、D是函数关系；B是不相关关系；C是相关关系，

故选：C

【变式1-1】（2024·高二课时练习）下列两个变量间的关系不是函数关系的是（????）

A．正方体的棱长与体积 B．角的度数与它的正切值

C．单产为常数时，土地面积与粮食总产量 D．日照时间与水稻的单位产量

【答案】D

【解析】因为A中，B中，C中（，且a为常数），所以这三项均是函数关系，D项是相关关系．

故选:D

【变式1-2】（2024·江苏盐城·高二校考阶段练习）下列关于回归分析与独立性检验的说法：①回归分析和独立性检验没有什么区别；②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；③回归分析是研究两个变量之间的相关关系，而独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．其中正确的是（????）

A．①② B．③ C．③④ D．①②③④

【答案】B

【解析】回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析，而相关关系是一种不确定关系；独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种分析，并可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，但不能100%肯定这种关系，所以①②④错误，③正确．

故选：B

题型二：散点图与相关性

【例2】（2024·高二课时练习）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】B

【解析】A中，两个变量与之间具有函数关系，不是相关关系，不符合题意；

B中，两个变量与构成的点在一条直线附近带状分布，所以两个变量之间是线性相关关系，符合题意；

C中，两个变量与构成的点不在一条直线附近带状分布，所以两个变量之间不是线性相关关系，不符合题意；

D中，两个变量与构成的点不在一条直线附近带状分布，所以两个变量之间不是线性相关关系，不符合题意.

故选：B.

【变式2-1】（2024·全国·高二随堂练习）对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（????）

??

A． B．

C． D．

【答案