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两个正方形剪拼成一个大正方形 湖北省襄阳市黄集镇初级中学 赵国瑞 图 1 图 1 中的两个正方形 连成了一体. 布鲁斯博士 说, 只要在上面画两条直 线, 把这个图形分成四块, 就可重新拼成一个正方形 而无任何剩余. 你能做到吗? 提示 根据图形剪拼后面积相等的原理, 求出要拼成的正方形的边长, 并在目前的图形 中寻找这样长度的线段. ) 答案 这两个正方形无具体尺寸, 但不管 怎样, 它们拼成的图形的面积, 总是它们的面 积的和, 这是一切图形拼剪问题的着手点. 图 2 现设一个正方形 的边长为 a, 另一个正 方形的边长为 b, 则这 两个正方形的面积之 和为 a 2 + b 2 . 再设它们 所拼成的正方形的边 长为 c, 则有 c 2 = a 2 + b 2 . 根据勾股定理, c 正是 以 a、b 为直角边的直角三角形的斜边. 根据这 条线索, 我们在图 2 上试着找出一个这样的直 角三角形. 显然 符合要求, 因此 CF 的 长度就是我们要拼的正方形的边长. 既然如 此, 何不试着把 CF 作为我们要拼的那个新正 方形的一条边呢? 于是我们连接 CF, 即把 CF 图 3 作为我们所画的第一条划分线. 既然 CF 是新正方 形的一条边, 那么过 C 点与 CF 垂直的那条直 线上应该有着新正方形 的另一条边. 于是我们 如此画一条直线, 如图 3, 设这条直线交 DE 于 H , 交A G 于I ; 并为了下面证明的需要, 设它 交 BA 的延长线于 J . 这样就把图形分成了四块 、 四 边 形 、 直 角 梯 形 I A 和 这样的四个 图形能不能拼成一个正方形呢? 图 4 如图 4 所示, 这样 的四个图形东西确实可 以拼成一个正方形. 具 体的操作过程是: ( 1 ) 把 沿直线 H J 平移到梯形 ABCI 拼成一个 的位置, 与直角这一操作的合理性需要有 作保证, 这将在下面证明. ( 2) 把 Rt 平移到四边形 CH EF 的 右边并与之拼合. 这里需要 有 EF= A B+ J A, 但如果有 CD, 从而有 EF= GD= GC+ CD= AB+ JA . ( 3) 把 则J A = 沿直线 J H 平移到刚才 拼合成的图形下面并与之拼合. 这里需要有 I F = BC + H E, 但如果有 则A I = DH , 从而有 I F= I G+ GF= A G- AI + GF= BC- DH + DE= BC+ H E. 于是在 待证) 的 前 提下, 我们得到了图 4 的四边形, 但我们还要 证明它 是正方形. 目前仅知道这个四边形有两个角( 即原来 中 的 和原来 中的 是直角. 我们还需要证明 其他两个角也是直角. 其实这 很容易. 由于在原来的图形 中 而 下转第 27 页 所以 网址: z xss. chinajournal. net. cn 电子信箱: zxs s@ chinajournal. net . cn 数学史话 吉林省公主岭市教育六号楼四单元 1( 136100) 窦英俊 李玉程 程大位是明朝( 公元 16 世纪) 人, 是我国 古代伟大的数学家, 他花了几十年的 时间, 精 心研究各种数学书籍, 并结合自己的体会, 于 1593 年编写出了 算法统宗 一书, 此书出版 后, 就在国内各地广泛流传, 当时此书成为我 国初等数学教科书, 它在我国数学史上是一部 很重要的著作. 本文将介绍此书中的一道百羊趣题如下 甲赶群羊逐草茂, 乙拽肥羊一只随其后, 戏问甲及一百否? 甲云所说无差谬, 若得这般一群凑, 再添半群小半群, 得你一只来方凑, 玄机奥妙谁参透? 这道题, 大意是说: 牧羊人赶着一群羊去 寻找草长得茂盛的地方放牧, 有一个过路人牵 着一只肥羊从后面跟了 上来, 他对牧羊人说 一百只 吧 牧羊人答道 你好, 牧羊人! 你赶这群羊大概有 如果我再有这样一群羊, 并 且加上这群羊的一半, 又四分之一群, 连你牵 着的这只肥羊也算进去, 才刚好凑满一百只 谁能够知道牧羊人放牧的这群羊一共有多少 只? 弄清了题意以后, 这道题的解法很简单, 其解法如下: 解法一( 算术法) : 把原来群羊看作1, 又 一群羊也是 1, 半群是 1 2 , 小半群是 1 4 , 则总的 分数为: 1+ 1+ 1 2 + 1 4 , 它对应的羊数为 100 - 1. 故得算式 - 只) . 解法二 ( 方程法) : 设这群羊共有 x 只. 根据题意得方程 x+ x+ 1 2 x+ 1 4 x+ 1= 100. 解此方程得 只) . 答: 略去. ( 责审 周春荔) ( 上接第 28 页) 即这个拼成的四边形的 右端那个角