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利用数轴探讨一类最小值的求法 我们知道，在数轴上若两定点 A、B 分别表示数 a、b，则 A、B 之间存在点 P（设它表示的数为 x ，b≤x≤a ），使得它到两个定点 A、B 的距离之和最小，这个最小值为 AB＝|x－a|+|x－b|＝|a－b| (b≤x≤a) （如图 1 所示）． 那么，在数轴上到三个定点A、B、C 的距离之和最小的点是否存在呢？若存在，这点又在何处？如图 2 所示，假设这点（P）就在 B 处（即|PB|＝0），则有 PA+PB+PC＝ PA+0+PC＝AC，而当 P 点不在点 B 处时，显 然都有 PA+PB+PC＞AC，假设是成立的．所 以在数轴上到三个定点A、B、C 的距离之和最小的点就在中间那个点(B 点)处，且最小值为 AC 的长． 现在我们继续探讨：数轴上四个定点A、 B、C、D 的情形，如图 3 所示，当 P 在 BC 之间（含点 B、C）时，PA+PB+PC+PD＝BC+AD； 当 P 在 AB 之间（不含点 B）或在 CD 之间（不含点 C）时，如图 4 所示，PA+PB+PC+PD＝ 2PB+BC+AD ＞ BC+AD 或 PA+PB+PC+PD ＝ 2PC+BC+AD＞BC+AD； 当 P 点 在点 A 左边或点 D 右边时， |PA|+|PB|+|PC|+|PD|的值将会更大．于是， 我们可以肯定的说，数轴上到四个定点的距离之和最小的点一定在中间那两个点之间 （含两个端点），且最小值为|BC|+|AD|． 我们还类似的可以得出：数轴上到五个定点 A、E、B、C、D 的距离之和最小的点P， 就在它们当中中间的一个点B 处(如图 5 所示) ．依此类推．．． 于是，我们得如下结论： 设数轴上有n 个定点，当 n 为偶数时，到这 n 个定点的距离之和最小的点在第 ～ +1 个点之间（含两个端点）；当 n 为奇数 时，到这 n 个定点的距离之和最小的点在第个点处． 这个结论的应用很广，现举两例： 例 1 求|x－1|+|x－2|+|x－3|+…+|x －2008|的最小值． 析解：设数轴上有 2008 个点分别表示连续整数 1、2、3、…、2008，点P 表示数 x， 则本题就是在数轴上求点 P 到这 2008 个整 点的距离之和的最小值．因此，必须求出P 点表示的数是多少？即点 P 的位置．因为2008 是偶数，由上面结论知，点 P 所表示的数 x 应是中间两个点之间的任何一点表示的数，我们不妨取右端点的数x＝1005， 得原式的最小值为： |1005－ 1|+|1005－ 2|+|1005 － 3|+ … +|1005 － 2009| ＝ |1004|+|1003|+|1002|+…+|2|+|1|+|0|+| — 1|+| － 2|+| － 3|+ … +| － 1004| ＝ 2 （1+2+3+…1004）＝（ 1+1004）× 1004＝ 1009020． 例 2 某城镇沿环形路有五所小学，依次 为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑 15、7、11、3、14 台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，若甲小给乙小－3 台， 即为乙小给甲小 3 台，要使电脑移动的总台数最小，应作怎样安排？ 析解：如图，用A、B、C、D、E 分别表示这五所小学的位置，并设A 向B 调 台电脑， B 向 C 调 台电脑，…，E 向 A 调 台电脑， 依题意有：7+ － ＝11+ － ＝3+ － ＝14+ － ＝15+ － ＝50÷5＝10，所以， ＝ －3， ＝ －2， ＝ －9， ＝ －5，设调动的电脑的总台数为 y,则 y＝ | |+| －3|+| －2|+| －9|+| －5|， 这样，这个实际问题就转化为求 y 的最小值问题，仿例 1 的分析，并由上面所得结论知： 当 ＝ ＝3 时，y 的最小值为|3|+|3－ 3|+|3－2|+|3－9|+|3－5|＝12，即调动的 总台数为 12．因为 ＝3 时， ＝0， ＝ 1， ＝－6， ＝－2，故一小就向二小调 3 台电脑，二小不调出，三小向四小调一台电脑，五小向四小调 6 台电脑，一小向五小调2 台电脑． x1 x1 ．B ． xx 1 上 x