利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题.docxVIP

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第21 题中的第○2 步，由不等式恒成立来 求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。洛必达法则简介： 法则 1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) lim f ?x?? 0 及lim g ?x?? 0 ； x?a x?a 在点a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且g(x)≠0； f ??x? lim x?a g ??x? ? l ， 那 么 lim x?a f ?x? x?ag ?x?= x?a f ??x? g ??x? ? l 。 法则 2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) lim f ?x?? 0 及lim g ?x?? 0 ； x?? x?? (2) ?A f 0 ，f(x) 和 g(x)在???, A?与?A, ???上可导，且 g(x)≠0； f ??x? (3) lim x?? g ??x? ? l ， 那 么 lim x?? f ?x? x??g ?x? = lim x?? f ??x? g ??x? ? l 。 法则 3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) lim f ?x?? ? 及lim g ?x?? ? ； x?a x?a 在点a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且g(x)≠0； f ??x? lim x?a g ??x? ? l ， 那 么 lim x?a f ?x? x?ag ?x?= x?a f ??x? g ??x? ? l 。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1 将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞， x ? a? ， x ? a? 洛必达法则也 成立。 ○2 洛必达法则可处理 ， ， 0 ? ? ，1? ， ?0 ， 00 ， ? ? ? 型。 0 ?0 ?0 ? 0 ? 0 ? ○3 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， 0 ? ? ，1? ， ?0 ， 00 ， ? ? ? 型 0 ? 定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这 时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 ○4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二．高考题处理 1.(2010 年全国新课标理)设函数 f (x) ? ex ?1? x ? ax2 。 若 a ? 0 ，求 f (x) 的单调区间； 若当 x ? 0 时 f (x) ? 0 ，求a 的取值范围 原解：（1） a ? 0 时， f (x) ? ex ?1? x ， f (x) ? ex ?1 . 当 x ?(??,0) 时， f (x) ? 0 ；当x ?(0, ??) 时， f (x) ? 0 .故 f (x) 在(??,0) 单调减少，在(0, ??) 单调增加 （II） f (x) ? ex ?1? 2ax 由（I）知ex ? 1? x ，当且仅当 x ? 0 时等号成立.故 f (x) ? x ? 2ax ? (1? 2a)x ， 1 从而当1? 2a ? 0 ，即a ? 时， f (x) ? 0 ( x ? 0) ，而 f (0) ? 0 ， 2 于是当 x ? 0 时， f (x) ? 0 . 1 由ex ? 1? x(x ? 0) 可得e? x ? 1? x(x ? 0) .从而当a ? 时， 2 f (x) ? ex ?1? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) ， 故当 x ?(0,ln 2a) 时， f (x) ? 0 ，而 f (0) ? 0 ，于是当 x ?(0,ln 2a) 时， f (x) ? 0 . 综合得a 的取值范围为? ??, 1 ? ? ? 2? ? 2 原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解:（II）当 x ? 0时， f (x) ? 0 ，对任意实数a,均在 f (x) ? 0 ； ex ? x ? 1 x当 x ? 0时， f (x) ? 0 等价于a ? x 2 令 g ?x?? ex ? x ? 1 x2  (x0), 则 g  ?(x) ? xex ? 2ex ? x ? 2 x3 ， 令 h ?x?? xex ? 2ex ? x ? 2 ?x ? 0?，则h??x?? xex ? ex ? 1 ， h ??x?? xex ? 0 ， 知 h??x?在?0, ???上为增函数， h??x?? h??0?? 0 ；知 h?x?在?0, ???上为增函数， h ?x?? h ?0?? 0 ；? g??x??