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利用轴对称性质求几何最值 -＿... - ＿....-＿ ＿~－“．一· - ---- ———————————————————————————————— 作者: ———————————————————————————————— 日期： -＿.... - ＿....-＿ ＿~－“．一· - ---- 轴对称中几何动点最值问题总结 轴对称中几何动点最值问题总结 轴对称的作用是“搬点移线 轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的 图形”中,为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。 利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个： (1）两点之间线段最短； （2）三角形两边之和大于第三边; (3）垂线段最短。 初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。 （1） （1） 两点一线的最值问题: （两个定点 + 一个动点） 问题特征:已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置,使动点与定点线段和最短。 核心思路:这类最值问题所求的线段和中只有一个动点,解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点,连结这个对称点与另一定点，交直线于一点 ,交点即为动点满足最值的位置。 变异类型:实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形,比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形,即其中一个定点的对称点就在这个图形上。 １. 如图，等边△AＢC 的边长为 6,AD 是ＢＣ边上的中线,M 是 AＤ上的动点,E 是 AC 边上一点， Ａ．4B.8C.Ｄ.若 AE=2，ＥM+CM Ａ．4 B.8 C. Ｄ. 如图,等边△ABC 的边长为４，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点,E 是ＡC 边上一点,若ＡE＝2,当 EF＋ＣF 取得最小值时，则∠EＣＦ的度数为（ ） A．1５° Ｂ.2２.5° C.30° D. 45° 如图,Ｒt△AＢC 中，AC=BC=4,点 D,E 分别是 AＢ,AC 的中点，在 CD 上找一点Ｐ,使ＰA+PE 最小，则这个最小值是 ＿ ＿ ＿. (2006?河南）如图，在△ＡBC 中，AC=ＢC=2，∠ＡCB=90°,D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点，则 EC+ED 的最小值是＿_＿＿＿ ＿＿＿＿＿_. A.Ｂ．C．D. 10如图,在正方形 ABCＤ中,E 是 AB 上一点，ＢE=2,AE＝3BＥ,P 是 AC A. Ｂ． C． D. 10 6..（2０09?抚顺）如图所示,正方形 AＢCD 的面积为 12,△ＡBE 是等边三角形，点Ｅ在正方形 ABCD 内,在对角线 AC 上有一点Ｐ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为( ） A．2√3 B. 2√6 Ｃ． ３ Ｄ. √ ６ （2） （2） 一点两线的最值问题： （两个动点+ 一个定点） 问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间,分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。 核心思路:这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。 变异类型： 变异类型： 例 1 ：如图 6,接力赛场上，甲同学站在 L1、L2 两条交叉跑道之间的任意一点 A 处，要将接力棒传给站在 L1 跑道上的乙同学,乙同学要将接力棒传给站在Ｌ2 跑道上的丙同学，丙同学跑回 A 处,试找出乙丙同学所站的最佳位置使比赛的路程最短。 Al A l 1 B Q A R C 图6 2 A 如图,已知∠AＯB 的大小为α,P 是∠AOB 内部的一个定点,且 OP=2，点Ｅ、F 分别是ＯＡ、ＯB 上的动点，若△PＥF 周长的最小值等于２,则α=（ ） A.３0° B.45° C．６0° Ｄ.90° 如图,∠AOB=30°，内有一点 P 且 OP＝，若 M、N 为边 OＡ、ＯB 上两动点，那么△PMN 的周长最小为( ） Ａ.2√6 B.6 C. √６/2 D. √6 如图，在△ABＣ中,∠C=90°,CB＝CA=4,∠Ａ的平分线交 BC 于点 D，若点Ｐ、Q 分别是ＡC 和 AＤ上的动点,则 CＱ＋PQ 的最小值是_＿_＿＿_＿_＿ 在锐角三角形 AＢC 中,AB=4，∠BAC=60°，∠BAC 的平分线 BC 于 D,M、N 分别是 AD 与Ａ Ｂ上动点,则 BM+MN 的最小值是 ． （3） （3） 两点两线的最值问题: (两个动点+ 两个定点） 问题特征：两动点,其中一个随另一个动（一个主动，一个从动)，并且两动点间的距离保持不变。 核心思路