高二数学曲线与方程习题概要.docxVIP

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曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x, =0 的实数解建立了如下的关系: 曲线上的点的坐标都是这个方程的解; 以这个方程的解为坐标的点 ,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲 线(图形). 平面解析几何研究的两个主要问题 根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2)通过曲线的方程研究曲线的性质. 求曲线方程的一般方法(五步法) 求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤: 建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; 写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)}; (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 两曲线的交点 由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的 ,即两个曲线方程组成的方程组的实数解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几个交点,方程组 ,两条曲线就没有交点. 两条曲线有交点的 条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见,求曲线的交点问 题,就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. 求曲线轨迹方程的常用方法 第 1 页/共 10 页 直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,直接表述成含 x, y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称为直接法. 定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可用曲线定义写出方程,这种方法称为定义法. 代入法 又称相关点法,其特点是,动点 M(x,y)的坐标取决于已知曲线 C 上的点(x′,y′)的坐标, 可先用 x,y 来表示 x′,y′,再代入曲线 C 的方程,即得点 M 的轨迹方程. 圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到焦点与到定直线的距离之比为定值e,当 时,为椭圆;当 时,为抛物线. 时,圆锥曲线为双曲线;当 直线与圆锥曲线交点 直线与圆锥曲线的交点由直线方程与圆锥曲线方程联立得到. 8、基础自测 1.(2011·山东潍坊)已知圆 x2+y2=4,过点 A(4,0)作圆的割线 ABC,则弦 BC 中点的轨迹方程为( ) A.(x-1)2+y2=4(-1≤x 1 B.(x-1)2+y2=4(0≤x1) C.(x-2)2+y2=4(-1≤x 2) 1  D.(x-2)2+y2=4(0≤x1) 2) [答案] D [解析] 由圆的几何性质知,BC 的中点到 A 与圆心连线的中点的距离为 2,即方 2 2 程为(x-2) +y =4,又中点在圆内,∴0≤x1. 2.(2011·宝鸡)如图所示,△PAB 所在的平面 α 与四边形 ABCD 所在的平面 β 垂直,且 AD⊥α,BC⊥α,AD=6,BC=12,AB=9,∠APD=∠CPB,则点 P 在平面 α 内的轨迹是( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 [答案] A [解析] 由条件可知,Rt△DAP∽Rt△CBP, 故 P 点的轨迹是圆的一部分. 第 2 页/共 10 页 PA AD 1 ∴PB=BC=2, 3.F 、F x2 y2 是椭圆 2+ 2=1(ab0)的两焦点,P 是椭圆上任一点,过一焦点引∠F PF 的外角平分线的垂 1 2 a b 1 2 线,则垂足 Q 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 y24.过双曲线 x2 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,这样的直线条数为( ) - 2 =A.1 B.2 C. - 2 = [答案] C [解析] 若与双曲线右支交于两点 A,B,则|AB|≥4(通径),此时弦长为 4 的弦有一条;若与左右两支各有一交点 A、B,则|AB|≥2(实轴长),此时弦长为 4 的弦有两条.∴共 3 条. 如图所示,过点 P(0,2)的直线和抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点 M 在直线 x=2 上, 则弦 AB 的长为 . 5[答案] 2 5 [解析] 设 A(x ,y ),B(x ,y ) ?2 y1+y2?, 1 1 2 2 ,则 AB 的中点 M? , 2 ? 由 y 2=8x ,和 y 2=8x 相减得(y -y )(y +y )=8(x -x ),∵k =k , 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 y +y PM AB y -y 8 1 2 2-2 ∴k = 1 2= = 令 y +y =2b,则有 b2-2b-8=0, AB x -x y +y 2-0 1 2 1 2 1 2 ∴b=4 或 b

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