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曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,
=0 的实数解建立了如下的关系:
曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
以这个方程的解为坐标的点 ,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲
线(图形).
平面解析几何研究的两个主要问题
根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2)通过曲线的方程研究曲线的性质.
求曲线方程的一般方法(五步法)
求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤:
建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标;
写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)}; (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式;
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
两曲线的交点
由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的 ,即两个曲线方程组成的方程组的实数解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几个交点,方程组 ,两条曲线就没有交点.
两条曲线有交点的 条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见,求曲线的交点问
题,就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.
求曲线轨迹方程的常用方法
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直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,直接表述成含 x,
y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称为直接法.
定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可用曲线定义写出方程,这种方法称为定义法.
代入法 又称相关点法,其特点是,动点 M(x,y)的坐标取决于已知曲线 C 上的点(x′,y′)的坐标,
可先用 x,y 来表示 x′,y′,再代入曲线 C 的方程,即得点 M 的轨迹方程.
圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到焦点与到定直线的距离之比为定值e,当
时,为椭圆;当 时,为抛物线.
时,圆锥曲线为双曲线;当
直线与圆锥曲线交点
直线与圆锥曲线的交点由直线方程与圆锥曲线方程联立得到.
8、基础自测
1.(2011·山东潍坊)已知圆 x2+y2=4,过点 A(4,0)作圆的割线 ABC,则弦 BC 中点的轨迹方程为( )
A.(x-1)2+y2=4(-1≤x 1
B.(x-1)2+y2=4(0≤x1)
C.(x-2)2+y2=4(-1≤x
2)
1
D.(x-2)2+y2=4(0≤x1)
2)
[答案] D [解析] 由圆的几何性质知,BC 的中点到 A 与圆心连线的中点的距离为 2,即方
2 2
程为(x-2) +y =4,又中点在圆内,∴0≤x1.
2.(2011·宝鸡)如图所示,△PAB 所在的平面 α 与四边形 ABCD 所在的平面 β 垂直,且
AD⊥α,BC⊥α,AD=6,BC=12,AB=9,∠APD=∠CPB,则点 P 在平面 α 内的轨迹是( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
[答案] A [解析] 由条件可知,Rt△DAP∽Rt△CBP, 故 P 点的轨迹是圆的一部分.
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PA AD 1
∴PB=BC=2,
3.F 、F
x2 y2
是椭圆 2+ 2=1(ab0)的两焦点,P 是椭圆上任一点,过一焦点引∠F PF
的外角平分线的垂
1 2 a b 1 2
线,则垂足 Q 的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
y24.过双曲线 x2 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,这样的直线条数为( )
- 2 =A.1 B.2 C.
- 2 =
[答案] C [解析] 若与双曲线右支交于两点 A,B,则|AB|≥4(通径),此时弦长为 4 的弦有一条;若与左右两支各有一交点 A、B,则|AB|≥2(实轴长),此时弦长为 4 的弦有两条.∴共 3 条.
如图所示,过点 P(0,2)的直线和抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点 M 在直线 x=2 上,
则弦 AB 的长为 .
5[答案] 2
5
[解析] 设 A(x ,y
),B(x
,y )
?2 y1+y2?,
1 1 2
2 ,则 AB 的中点 M? , 2 ?
由 y 2=8x ,和 y
2=8x 相减得(y
-y )(y +y )=8(x -x
),∵k =k ,
1 1 2
2 1 2 1 2 1 2
y +y
PM AB
y -y 8
1 2 2-2
∴k = 1 2= = 令 y +y
=2b,则有 b2-2b-8=0,
AB x -x y +y
2-0 1 2
1 2 1 2
∴b=4 或 b
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