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连续介质力学和微纳观理论的研究进展 0 求解宏观—引言 随着计算机的快速发展，数值计算方法（如金元法、边界源法、有限差分法和无网格法）已成为解决各种复杂问题的有力工具。如何建立一套有效的多尺度关联分析方法求解从宏观到微观问题是值得探讨的课题。若没有大尺度计算为小尺度计算的界面提供边界条件,内部的多尺度描述就不会表述清楚;若小尺度计算所得的物理量不能通过一定的等效方法向大尺度计算传递,系统整体的物理、力学性能就不会被准确了解。因此,有必要建立尺度间的相互作用理论和多尺度级进计算方法,以实现不同尺度间的有效关联。 目前,主要的求解宏观—微观问题的多尺度数值计算方法有多尺度连续介质方法、连续介质—分子动力学耦合方法、准连续介质方法。本文根据所涉猎的有限领域讨论了宏观—微观多尺度数值计算方法以及发展前景。 1 多尺度有限元计算方法 随着新技术、新材料的不断发展,许多复杂问题用一般的连续介质方法,往往需要作网格密化或节点加密处理,但这样势必会增大计算量,使问题难以解决。于是,基于连续介质的多尺度方法得到了发展,对整体求解域作均匀化、大尺度的计算,对需要精细计算的局部区域采用局部密化或尺度关联的小尺度计算,使上述问题的求解得到较好的实现。 崔俊芝等提出了基于双尺度渐近分析的有限元方法,并给出了详细的计算步骤,用于解决在局部区域内间断且跳跃性很大、区域内含有周期性洞穴或裂缝且周期很小的复合材料或周期结构的力学问题。曹礼群等研究了二维多孔复相介质稳态温度场的多尺度渐近数值计算方法。例如对二维多孔复相介质(图1)问题: 式中,ε为一个小周期参数,0εl/L?1,取ε=1/6;l为基本周期单元(单胞)的细观尺寸;ω为n维欧氏空间R中具有1—周期结构的无界区域。 基本单胞Q∩ω如图2所示,Q为单位方体。阴影部分表示周期孔洞,孔洞边界上满足第一类边界条件。对区域Ωε和Q∩ω实行一致正方形剖分,如图1、图2所示,其剖分尺寸分别是h=1/36?ˉh=1/18h=1/36?hˉ=1/18,由于式(1)的精确解无法得到,可用较细网格上的有限元解作为原始问题温度场uε(x)的近似解。设f(x)=36×106[x1x2(1-x1)(1-x2)]3,图3是uε(x)的有限元解与多尺度有限元方法耦合解之间的绝对误差曲面,无论是边界附近或内部点均有较好的逼近。罗剑兰等在以上研究基础上,进一步解决了随机多孔复相介质稳态温度场问题。 Ladeveze等提出了一种可考虑摩擦效应的接触问题的双尺度计算模型。对于在相对于整体结构有较小尺度区域或局部区域,具有高梯度解,对不同特征尺度组成的异构材料如复合材料的问题,采用多尺度计算是一条可行的途径。Ladeveze等提出的方法的基本思想是将结构分解成若干界面相关联的子结构,子结构的界面可传递位移分布和力分布信息。在界面上的未知量(位移和力)可分解为 S=SM+Sm(2) 式中,SM为宏观量;Sm为微观量。 在界面上采用力平衡准则强制边界条件,这样对于接触边界可较方便地引入摩擦力的作用。在具体计算中,采用称为LATIN方法的宏观—微观计算模型组装各子结构和界面,并对问题进行求解。在此研究中,仅考虑了线弹性情况。如图4所示,矩形板(90mm×90mm)上受压缩和弯曲载荷各100MPa,在板中有若干裂纹。在弯曲过程中,裂纹由于变形会发生接触和摩擦,设摩擦系数f=1,杨氏模量E=130GPa,泊松比ν=0.2,平面应变问题。矩形板被分解为若干子结构。图5给出了矩形板的变形。在计算中,宏观尺度解反映了边界力的总趋势,而微观尺度解则改善了裂纹尖端的计算结果。由于采用了子结构的多尺度关联,这一方法适于并行计算。 O?nn?ate提出了采用有限计算(finite calculus, FIC)的多尺度有限元计算方法。FIC方法主要解决典型的多尺度问题,如具有局部高梯度的流体力学对流—扩散问题、固体或流体力学中的不可压缩问题、固体的剪切带预测或可压缩流体的冲击波问题等。此方法通过有限元计算对全局离散系统的节点提供了宏观均匀化解,而对高梯度区域则通过递阶(hierarchical)耦合的多尺度有限元近似方法得到局部精确解。O?nn?ate给出的递阶耦合插值函数为 Φ=n∑i=1ΝiΦi+m∑j=n+1ΝhjahjΦ=∑i=1nNiΦi+∑j=n+1mNhjahj(3) 式中,Ni为有限元形函数;Φi为节点位移;Nhjhj为递阶耦合形函数;ahjhj为递阶耦合的局部密化节点位移。 此外,Juanes等提出了求解三相介质流动问题的多尺度分析方法,显示了求解高非线性问题的潜力,并用此方法解决渗流区域的汽油过滤和碳氢化合物存储器的水气注射等实际问题。Li等将可变多尺度方法(variational multiscale method)和等效特征应变定律(equi