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初中数学教材中的数学思想 徐州市九里区九里中学 朱黎生 摘要：天得一而清，地得一而宁，万物得一而生，数学的美美在其统一性与简单性。化归思想、数形结合思想、整体思想、函数思想、对应思想等不都是数学统一美的表现吗？方程、函数、不等式之间是统一的，加、减、乘、除之间是统一的，减就是加，除就是乘。数与式之间是统一的，数与形之间是统一的。在数学统一美的统领下，各种数学思想各善其能。本文简略探讨了初中数学中的一些数学思想，这是数学教学的目的所在，也是学生数学能力的体现。其实，每一种数学思想都可以写厚厚的一本书，又岂是本文浮光掠影式的一带而过。 在2006 年常州市武进区湖塘中学举行的江苏省青年教师优质课评比活动中， 郑君威先生讲了这样一句话：“一堂如果没有数学思想的渗透，那么它就是一堂没有品位的课。”是啊！一堂好课就像一杯清茶，要留有口齿生津的余香；就像马致远的“枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马”一样，要留给人无限的遐想。就像中国的水墨山水，寥寥数笔却留给人大量的言外之意、画外之音。庄子说：“大道无言、大音稀声”；听了一堂好课，在静思冥想中，细细体会知识背后所蕴含的思想，或许就会给我们带来小小的快乐，一堂好课除了教给我们一些知识之外，最重要的是让我们感受一些数学的思想。日本数学家和数学教育家米山国藏说：“学生在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了， 然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学思想方法，却长期在他们的生活和工作中发挥着作用。” 那么初中数学教材中渗透了那些数学思想呢？ 1、化归思想 匈牙利著名数学家路莎·彼得在她的名著《无穷的玩艺》一书中对“化归方法”作过描述：“如上所述的推理过程，对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为己经能够解决的问题。当然，从陈旧的实用观点来看，以下的一个比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数学家中却是广为流传的：‘现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前，当你要烧水时，你应当怎么去做呢?‘往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶上。’‘你对问题的回答是正确的。现把所说的问题稍作修改，即假设水壶里己经装满了水，而所说问题中的其他情况都不变，试问， 此时你应该怎样去做?’此时被问者一定会大声而颇有把握地说：‘点燃煤气，再把水壶放上去。’他确信这样的回答是正确的，但是更完美的回答应该是这样的： ‘只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。”从这段话可以看出，化归方法已经成为了数学家们最典型的思维模式了”。 所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化和归结的意思。数学中把待解决的问题通过转化，归结到一类己经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。化归方法用框图可直观表示为： 待解决的问题 待解决的问题A 转 化 易解决的问题B 问题A 的解答 还原 问题B 的解答 其中，问题 B 常被称作化归目标或方向，转化的手段被称为化归途径或化归策略。所以化归包括三个基本要素，即化归对象、化归目标和化归策略。化归的方向是：由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易。 初中数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为己知， 化多元为一元，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容上，有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。转化思想是一种思维策略的表现，即我们常说的换个角度想问题。它是解决数学问题的重要思想，它要求我们能把握住问题的本质，能辨证地看待事物，能运用所学的知识把复杂的问题转化为较简单的问题解决，把隐含的条件转化为明显的条件，把生疏的问题转化为较熟知的问题解决。严格说，初中的几何证明只能是指出待证问题可以归入哪个问题的证明或由哪个已证的定理或结论来证明，实质上是一种化归过程。老老实实从公理、公设、定义出发去证明每一个命题，既费时，又没有必要，对初中学生来说有的甚至是不可能达到的。等价转化本身是数学中的很重要的内容，可以把较为深奥的问题化为较浅显的问题，较复杂的问题转化为较简单的问题。学习数学时头脑的灵活也体现在这种等价转化上，能把原题改为一个新的题目且使两题的已知条件及结论本质上相同，做到此很不简单。 例 1：有鸡、兔若干只同笼，已知共有头 12 个，腿 36 条，问鸡、兔各多少?此题解法较多，我们可以用化归方法，若鸡、兔同时抬起一半腿，则有腿18 条，比头数多 6，问题很快解决。 例 2：如图，正方形的边长为 a，求图中阴影部分面积。 分析：图形不规则，换一个角度看，