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控制系统的数学模型 在自然科学、社会科学及日常社会生活中，人们广泛地使用各种模型来表示现实事物。模型反映了实物某一方面的属性和特征，是对现实事物的一种表示形式。例如，地球仪是地球的一种模型，军事演习是实战的一种模型，实验室的某些装置是工厂大型设备的模型等。以上这些模型是以实物来表示实物，可以称为具体模型或物理模型。如果对现实事物进行简化、抽象 ,用方程、公式、图表、曲线等是现实事物的数学模型 .数学模型舍弃了现实事物的具体特点而抽象出了它们的共同变化规律 .因此, 这类模型称为抽象模型. 为了对控制系统进行定性和定量的分析研究 ,深刻地揭示控制科学的内在规律,建立控制系统的数学模型成为一项必不可少的工作. 控制系统的数学模型主要是指描述控制系统及其各组成部分特性的微分方程、状态空间表达式、差分方程、传递函数、频率特性以及基于神经网络、模糊理论而建立的模型等. 建立控制系统的数学模型有两种基本方法:一种是根据控制系统内部的运动规律,分析各种变量间的因果关系而建立起来的系统的数学模型.这种方法称为机理建模或理论分析法；另一种方法则是根据实 际测试的数据或计算数据 ,按一定的数学方法,归纳出系统的数学模型,这种方法称为系统辨识法或试验分析法.在对控制系统的运动机理、内部规律比较了解的情况下,适合应用机理建模法.用这种方法建立的数学模型,能科学地揭示系统内部及外部的客观规律 ,因而代表性强,适应面广.在系统运动机理复杂很难掌握其内在规律的情况下,往往需要按系统辨识的方法得到系统的数学模型.这种模型是根据具体对象而得出的,因而适应面较窄,通用性差. 建立控制系统的数学模型,是分析研究控制系统的基础.描述各种客观事物内在规律最基本的数学工具就是微分方程.下面,我们通过一些实例,来讨论建立控制系统微分方程的一般过程. 建立控制系统微分方程的主要步骤有: 明确要解决问题的目的和要求,确定系统的输入变量和输出变量. 全面深入细致地分析系统的工作原理、系统内部各变量间的关系.在多数情况下,所研究的系统比较复杂,涉及到的因素很多,不可能把所有复杂的因素都考虑到 .因此,必须抓住能代表系统运动规律的主要特征,舍去一些次要因素,对问题进行适当的简化,必要时还必须进行一些合理的假设. 如果把整个控制系统作为一个整体，组成控制系统的各元器件及装置则可以成为子系统。从输入端开始，依照各子系统所遵循的物理定律或其他规律，写出子系统的数学表达式. 消去中间变量，最后得到描述输入变量与输出变量关系的微分方程式。 写出微分方程的规范形式，即所有与输出变量有关的项应在方程左边，所有与输入变量有关的项应在方程右边，所有变量均按降阶排列。 系统微分方程的一般形式是 (2.1 ) 式中：y 为输出变量； x 为输入变量； 和 为方程的系数。 本书只讨论线性定常系统，因此，这些系数均为常数。 由于控制系统的被控对象和控制元件都具有惯性，当输入量发生变化时，输出量不可能在 瞬时完成对输入量的响应，而必须经历一个过渡过程即动态过程，所以我们把描述控制系统的 微分方程又称为动态方程。 例 1 机械运动系统的数学模型。图 2.1 是一个由弹簧、质量块和阻尼器构成的机械运动系统。弹簧的劲度系数为 k(N/m) 质量块的质量为 m(Kg) 阻尼器的阻尼系数为 f(N·S/m) 阻尼器是吸收系统能量的一种装置，其产生的阻力与活塞运动的速度和阻尼 系数成正比。我们现在来建立质量块在外力 F(t)作用下位移变化 的方程。很显然，这个系 统的输入变量为 ，输出变量为 。为了使问题简化，我们忽略质量块重力的影响。 作用于质量块的合力 P (2.2) 根据牛顿定律 消去中间变量 P,写成规范形式 (2.3) 这个二阶常微分方程就是我们要建立的机械运动系统的数学模型。 图２．１ 机械运动系统 例 2 直流电动机的数学模型。直流电动机可以在较宽的速度范围和负载范围内得到连续和准确 地控制，因此在控制工程中应用非常广泛。直流电动机产生的力矩与磁通和电枢电流成正比， 通过改变电枢电流或改变激磁电流都可以对电流电机的力矩和转速进行控制。图 2.2 是一个电 枢控制式直流电动机的原理图。在这种控制方式中，激磁电流恒定，控制电压加在电枢上，这 是一种普遍采用的控制方式。 设 为输入的控制电压电枢电流 为电机产生的主动力矩为电机轴的角速度 为电机的电感 为电枢导数的电阻 为电枢转动中产生的反电势为电机和负载的转动惯量 根据电路的克希霍夫定理 电机的主动转矩 其中反电势 为电机的力矩常数。 式中 为电机反电势比例系数力矩平衡方程 消去中间变量 , , 后得到 整理后 (2.4) 式中： 电时间常数； 称为直流电动机的电气时间常数； 称为直流电动机的机 , 为比例系数。 直流电动机电枢绕组的电感比较小，