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实用标准文案 实用标准文案 精彩文档 精彩文档 专题：旋转相似 模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。 条件：CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD 绕点O 旋转到图 1 和图 2 的位置。 结论：⑴、△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。 ⑵、延长AC 交BD 于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B 四点共圆） 模型特例： 共直角顶点的直角三角形相似 当∠AOB=∠COD=90°时，除 ⑴、△OCD∽△OAB ? △OAC∽△OBD ⑵、延长AC 交 BD 于点 E，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明） 外，还有结论 BD OD OB ⑶、 AC ? OC ? OA ? tan ?OCD ? tan ?OAB ⑷、因为AC⊥BD 于点E，那么，若连AD、BC，则四边形ABCD 对角线互相垂直，则 ? S 四边形ABCD ? 1 AC ? BD 2 ? AD2 ? BC 2 ? AB2 ? CD2 例题讲解 例 1.已知△ABC 与△DEF 都是等腰三角形，AB、EF 的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF. 如图 1，若∠ACB=900,探究 BF 与 CD 间的数量关系； 如图 2，若tan∠ACB= BF ，求 的值； CD 如图 3，若△ABC 中AC=BC=a ，将△DEF 绕点O 旋转，设直线CD 与直线BF 交于点H，则S 最大值 ?BCH 为 （用含a 的式子表示）。分析： （1）连OC，OD，△OBF≌ △OCD，BF=CD EOD E O D F B E F O A D C A C 构造手拉手旋转相似。可证△OBC∽ △OFD, △ODC∽ △OFB ∠ACBBF OB ∠ACB = =tan CD OC 2 3 1 问题转化为已知 tan∠ACB= 4 ，求 tan 2∠ACB 的问题，必须 熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。 1 1 由右图提示可得tan 2∠ACB = 3 ； （3）由（2）△OBC∽ △OFD, △ODC∽ △OFB，蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°；又 BC=a ，定边定角， 点 H 在以BC 为直径的圆上，易求 ?S ?BCH ? max 1 1 1 ? 2 ? a ? 2 a ? 4 a2 DF 例 2.如图１，已知在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，?求证：AG＝CE；?求 AG 的值 分析：?如图 2，证△ABG ?△CBE ，∴AG=CE ?如图 2，连接BD，BF，DF， BD BF 2易 证 BC ? BE ? 2 ， ?DBC ? ?FBE ? 45? ， ∴∠D B =F∠C B E ∴△DBF ~△CBE DF BD 2∴ CE ? BC ? 2 ∵AG = CE 2DF DF 2 ∴ AG ? CE ? AH 变式：如图 3，正方形ABCD 和 EFGH 中，O 为 BC，EF 中点(1)求证：AH=DG;(2)求 CF  的值。 分析：(1)连接OA,OH, OD, OG, 易证：△AOH ~△DOG ? AH ? DG OE OB 1 (2)? EH ? AB ? 2 , ?△ABO ~△HEO, ??AOB ? ?HOE, ??AOH ? ?BOE, OE OH 又? OB ? OA , ?△OBE ~△OAH , AH AO 5? BE ? 5 BO ? 易证△BOE ?△COF， ? BE ? CF , AH 5? CF ? 5 例 3.如图，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求 AD 的长。 CD C D B 分析： 连接 BE，由基本图形易得 E 可证△ACD∽△BCE，AD＝ 3BE，∠ 3 BAE＝90° 在 Rt△ABE 作，由勾股定理求得BE＝10 CD则 AD＝ 10 3 A C D 3 B E 练习 1.如图，点 A 是△DBC 内一点， AB ? 2 3, BC ? 8, ?ABC ? 600，?DAC ? 1200，AD ? AC, 求 BD 得长。 分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10. 练习 2．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，F、G 分别为 AC、BC 的中点，将△CFG 绕点 C 顺时针旋转，直线AF 与直线BG 交于点I. 求证：AF⊥BG； 当旋转角小于 90°时，求 2 AI BI 的值； CI 若 AC＝4，直接写出△ACI 面积的最大值 . 分析： 需分析出I 点轨迹，由A、C、I、B 四点共圆可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定边定角得I 轨迹为圆弧。