北师大版七年级数学上册教案《探索与表达规律》.docxVIP

《探索与表达规律》 教学过程 教学过程 情境 1：一首永远也唱不完的儿歌. 只青蛙 1 张嘴，2 只眼睛 4 条腿，1 声扑通跳下水； 只青蛙 2 张嘴，4 只眼睛 8 条腿，2 声扑通跳下水； 只青蛙 3 张嘴，6 只眼睛 12 条腿，3 声扑通跳下水； …… 这样唱下去我们能唱完吗？ 能否用一种方式结束这首儿歌？利用刚学过的字母表示数进行数学建模，可以用一句话来概括“n 只青蛙 n 张嘴，2n 只眼睛 4n 条腿，n 声扑通跳下水”。 情境 2：“一物生来真希奇，身穿三百多件衣，每天给它脱一件，年底只剩一张皮.” 日历在我们生活中随处可见，它不仅让我们可以很直观地观察出我们需要的数据，其中还蕴涵着很多的数学知识。 我们经常用到的日历中的数字之间都有哪些关系呢？ 日历上方框中的 9 个数字之和与方框正中间和数字有什么关系？ 这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？（提示：用 a 表示方框中间的数，用合并同类项的知识解决问题） 通过观察日历中的数字，我们不难发现其中的规律：（1）相邻的两个数字后者比前者大 1，下者总比上者大 7；（2）一方框中的 9 个数字之和是中间数的 9 倍；（3）这个关系对任何一个月的日历都成立。 [开眼界] 探索规律不仅是去探索和发现数学规律，更主要的是经历从特殊到一般，从一般到特殊 这种探索规律、验证规律的过程，了解从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。在用去括号、合并同类项等知识的同时，可适当了解以下知识。 【杨辉三角】观察杨辉三角图，寻找其中的规律。 【几个求和公式】 n(n ? 1) 21 ? 2 ? 3 ???? n ? ； 2 1 ? 3 ? 5 ? ?? ? (2n ? 1) ? n2； 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)； [经典例析] 12 ? 22 ? 32 ??? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 . 1234……第一行2345……第二行3456……第三行4567……第四行· ·· ·· ·· ·第 第第 第— 二三 四列 列列 列例 1 1 2 3 4 …… 第一行 2 3 4 5 …… 第二行 3 4 5 6 …… 第三行 4 5 6 7 …… 第四行 · · · · · · · · 第 第 第 第 — 二 三 四 列 列 列 列 点拨：通过观察不难发现第n 行的第一个数为n，在第n 行中， 后一个数比前一个数大 1，因此第 6 行的第 6 个数应该是 6+6-1=11， 第 n 行的第 n 个数应该是 n+n-1=2n-1. 解：11 2n-1 评析：通过观察给出的一系列数找出它们的规律或探索它们之间的数量关系，再用数学方法给予证明（即用代数式表示其关系）是探索规律的常见题型。解决这类问 题的一般方法是：“观察、归纳、猜想、验证”。另外要注意的是并非题目中都要告诉什么是行，什么是列，这是生活中的基本常识，要求能分得清楚。 例 2 （2011 年·安徽）探索n×n 的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数： 当 n = 2 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1 2与 ，所以不同长度值的线段只有 2 种，若用 S 表示 2 不同长度值的线段种数，则S=2； 当n = 3 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1， 252，2， ，2 五种，比 n = 2 时增加了 3 种，即 S = 2 + 3 = 5。 2 5 2 观察图形，填写下表： 钉子数(n×n) S 值 2×2 2 3×3 2 + 3 4×4 2 ＋ 3 ＋ ( ) 5×5 ( ) 写出(n－1)×(n－1)和 n×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系； (用式子或语言表述均可) 对 n×n 的钉子板，写出用 n 表示 S 的代数式。 点拨:在观察规律时可用“覆盖法”，即 n = k 时包含了 n = k － 1 时的所有情况，如 n = 3 时，S = 2 + 3，当 n = 4 时,我们仅需考虑在 n = 3 的基础上增加了几条不同长度的线段，显然由图形易得此时 S = 2 + 3 + 4，以此类推。 解：（1）4 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5（或 14） （2）类似以下答案均可：①n×n 的钉 子板比(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了 n 种；②分别用 a、b 表示 n× n 与(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数，则 a = b ＋ n. （3）S = 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ … ＋ n. 评析：对于刚入初一的同学来说，还不能算出不同线段的具体长度，但可以通过图形直观地感受出线段的长短，再从图形的变化中探索其中的规律. 例3 根据以下