《微分流形》课程教学大纲（本科）.pdfVIP

微分流形 一、课程说明 课程名称：微分流形/Differential Manifolds 课程类别：专业教育课程（专业选修课） 学时/学分：48 学时/3 学分 先修课程：数学分析、高等代数、常微分方程、拓扑学 适用专业：数学与应用数学 教材、教学参考书： 1．陈维桓，微分流形初步，高等教育出版社，2001. 2 ．施恩伟，流形上的微积分，科学出版社，2004. 3. W.M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry，Academic press, INC. 4 ．宋卫东，微分流形基础，安徽人民出版社，2007. 二、课程设置的目的意义 本课程是数学与应用数学专业的一门专业选修课。通过本课程的教学，使学生能够 对带有微分结构的拓扑流形有一个初步的认识，能够初步掌握微分流形的基本概念和方 法，学习从局部到整体的数学技巧。一方面使学生掌握必要的现代数学基础知识，为学 生进一步学习现代数学、近代理论物理以及微分几何、微分拓扑、几何分析、黎曼几何、 李群、低维拓扑和非线性分析等相关课程打下必要的基础，为学生尽快从数学分析、线 性代数、点集拓扑的基础上达到具有近代数学知识的较高水平架设一座桥梁，同时培养 学生的创新意识和抽象思维能力。学生学好这门课的基本内容和思想，对今后的学习和 应用都有关键性的作用。其目的在于通过本课程的教学使学生对流形、张量及外微分形 式、Stokes 定理等基本概念、理论和数学方法加深理解，并通过大量系统的例题讲解和 习题训练，培养学生的空间想象技能和逻辑推理能力，培养学生运用流形理论和方法分 析问题、解决问题的能力，全面提高学生的分析综合能力和数学素养。 三、课程的基本要求 微分流形是拓扑学和几何学中一类重要的空间，具有很强的理论性和应用性，是数 学与应用数学专业的一门重要的专业选修课。要求任课教师既要有扎实的数学理论和系 统的专业知识，又要有认真负责的教学态度。在讲授本课程的过程中既要注重理论分析， 方法讲解，更要注重数学发散思维的培养，突出学生的空间想象能力。学生需要掌握数 学分析中微分的几何意义，以及各种积分与Green 公式、Gauss 公式、Stokes 公式。本 课程所承载的知识、能力和素质培养的具体要求如下。 1、知识要求： （1）掌握欧式空间的映射； （2 ）掌握向量空间与对偶空间的定义； （3 ）掌握张量积，张量代数，对称与反对称张量； （4 ）掌握外代数，外积的运算； （5 ）掌握局部坐标系统，微分结构，微分流形的定义； （6 ）掌握微分流形的拓扑； （7 ）掌握可微映射，微分同胚，单位分解定理； （8 ）掌握切向量和切空间、余切向量和余切空间、切映射和余切映射的概念和性 质； （9 ）掌握浸入子流形、嵌入子流形、淹没映射的概念，了解流形的定向和带边流 形； （10）掌握外微分形式、外微分算子及其运算，能计算流形上的积分，会应用 Stokes 公式。 2、能力要求： （1）培养学生逻辑推理能力； （2 ）培养学生的数学表述能力； （3 ）全面提高学生的创新思维能力和空间想象能力； （4 ）培养学生运用流形的理论和方法分析问题、解决问题的能力。 3、素质要求： （1）培养学生严谨的数学思维； （2 ）培养学生追求科学、真理的精神和数学情操； （3 ）培养学生勇于探索与创新的精神； （4 ）培养学生的全局观； （5 ）培养学生对数学方法论的认知。 四、教学内容、重点难点及教学设计 总 学时分配 教学方案设计 章节 教学内容 学 讲课 教学重点 教学难点 （含教学方法、 时 (含研讨) 实践 教学手段） n 维欧