27 二次函数面积问题（含答案析）-重难点突破九年级数学（上册+下册）常考题专练（北师大版）.docxVIP

专题26 二次函数中的面积问题 题型一 面积定值问题 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点，与轴交于点，抛物线的顶点的坐标是． （1）分别求该直线和抛物线的函数表达式； （2）是抛物线上位于对称轴左侧的点，若的面积为，求点的坐标； 【解答】解：（1）由题意把点代入， 得：， 一次函数的解析式为：； 抛物线的顶点的坐标是且过点， ， 解得：， 此抛物线解析式为：； （2）如图，设点的横坐标为， 抛物线对称轴为：直线， 过点作轴的垂线交直线于点， 则，， ， ， 解得：或， 2．已知抛物线的对称轴为直线，交轴于点、，交轴于点，且点坐标为．直线与抛物线交于点、（点在点的右边），交轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若，且的面积为3，求的值； 【解答】解：（1）将点代入解析式，得， ， ，； ； （2）设点横坐标，点的横坐标，则有， 把代入， ， 联立，得： ， ， ，， 的面积为3； 即， ， ， ， 或， ， ； 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求点，的坐标； 【解答】解：（1）对称轴，则点， 则抛物线的表达式为：， 即，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）设直线交轴于点，点、横坐标分别为，， 的面积， 即， 联立抛物线于直线的表达式并整理得：①， ，， ， 解得：（舍去）或3； 故， 则，解得：， 故点、的坐标分别为：，、，； 4．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），过点的直线与抛物线交于点，且点的纵坐标为6． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上的一个动点，若 的面积为4，求点的坐标； 【解答】解：（1）由题意，， 把代入得到， ， 抛物线的解析式为． （2）如图，设点是轴上一点，，满足的面积， 则有， 或， ，，，， 过点作直线交抛物线于，此时的面积的面积， 则直线的解析式为， 由，解得， ， 过点作直线交抛物线于，此时的面积的面积， 则直线的解析式为， 由，解得或， ，，，， 综上所述，满足条件的点坐标为或，或，； 5．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． （1）求该抛物线的解析式． （2）若抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值，求定值及，，这三个点的坐标． 【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ，， 把点和点坐标代入抛物线解析式， 得， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）由题知，在直线的上方，、在直线的下方， 将直线向上平移至与抛物线只有一个交点，平移后的直线交轴于， 设直线的解析式为：， 联立直线和抛物线的解析式，得， 整理得， 直线和抛物线有且只有一个交点， △， 解得， 的解析式为：， ， ， 同理，将直线向下平移与抛物线交于点和， 令的边上的高为，的边上的高为， ， ， ，且直线到直线和直线的距离相等，设直线交轴于， ，， ， 直线的解析式为， ①联立和抛物线解析式，得， 解得， ，； ②联立和抛物线解析式，得， 解得或， ，，，； 过作轴，交于， 四边形为平行四边形， ， ， 定值为． 题型二 面积倍数问题 6．如图，已知抛物线的对称轴为直线．抛物线与轴相交于，两点，点在点的左侧，点为抛物线与轴的交点． （1）求和的值； （2）抛物线上是否存在一点，使的面积等于的面积的4倍？若存在．求出点所有的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线， ，解得， 把代入得：， ， ，； （2）存在点，使的面积等于的面积的4倍， 如图： ，， ， 设， ， 的面积等于的面积的4倍， ，即， 当时，解得或， ，或，， 当时，解得， ， 综上所述，点的坐标为，或，或． 7．如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴交于点，与轴交于、两点． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）在抛物线上存在点（不与点重合），使得，请求出点的坐标． 【解答】解：（1）抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的函数关系式为， 又抛物线过点， ， 解得， 抛物线的函数关系式为，即； （2），且点在抛物线上， 点到线段的距离一定等于顶点到的距离， 点的纵坐标一定为4． 令，则， 解得，． 点的坐标为，或，． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于． （1）求该二次函数的表达式； （2）二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使得？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【解答】解：（1）将，代入得， ，解得：， 二次函数的表达式为． （2）当时，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 点在轴上方， ， ， 解得：（舍或，