高等数学建工类定积分的微元法平面图形的面积.pptxVIP

会计学1高等数学建工类定积分的微元法平面图形的面积 2abxyo面积元素对以上过程进行简化:这种简化以后的定积分方法叫“微元法”的面积，则取面积元素记为则若用表示任一小区间上的窄曲边梯形第1页/共21页 3注意：使用元素法的条件：(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.(2)U对于区间[a,b]具有可加性，则U相应地分成许多即如果把区间[a,b]分成许多部分区间，部分量，而U等于所有部分量之和.则U在[a,b] 上的值可由定积分示为(3) 在[a,b]中任取得小区间上的部分量与区间长度可以通过x的某函数乘积近似表来计算.第2页/共21页 4用元素法求量U的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．1.根据具体情况，选取积分变量，如：x.确定x的变化区间[a,b].2.把区间[a,b]分成n个小区间，取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的近似表达式量U的微分元素.3.写出定积分的表达式：先作图第3页/共21页 51.直角坐标系情形二、平面图形的面积oyx(1)为曲边，以以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.(2)由曲线所围图形的面积.xoy其面积元素为：则面积为上曲线下曲线第4页/共21页 6(3)为曲边，以以[c,d]为底的曲边梯形的面积A.(4)由曲线所围图形的面积.其面积元素为：则面积为右曲线左曲线xoycdxyocdy+dyyy+dyy第5页/共21页 7总之oxyxx+dxx+dxx在[a,b]上有正有负，时，时，第6页/共21页 8解法1.两曲线的交点面积元素选 为积分变量可直接由公式得到例1计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.xx+dx问题：积分变量只能选 吗？第7页/共21页 9解法2.两曲线的交点面积元素选 为积分变量，第8页/共21页 10解由公式得：可直接从几何意义上得到xy=sinxoy例2求由曲线y=sinx与直线及x轴所围成的平面图形的面积.第9页/共21页 11解两曲线的交点说明：注意各积分区间上被积函数的形式．选 为积分变量例3计算由曲线和所围成的图形的面积.第10页/共21页 12选 为积分变量说明:合理选择积分变量，能使计算简单.例3计算由曲线和所围成的图形的面积.解第11页/共21页 13如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积（相当于定积分的换元）(其中和对应曲线起点与终点的参数值)在(或)上具有连续导数，连续.第12页/共21页 14解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例4求椭圆的面积.第13页/共21页 15面积元素曲边扇形的面积为:二、极坐标系情形设由曲线及射线围成一个曲边扇形，求其面积.其中在上连续，且取为积分变量，则积分区间为在上任取一小区间则第14页/共21页 16解利用对称性知第15页/共21页 17部分的面积.例6求由曲线和解所求面积为由图形的对称性，所围成的公共23x..解方程组得交点坐标为：第16页/共21页 18第17页/共21页 19三、小结一、元素法的一般步骤：1.根据具体情况，选取积分变量，如：x.确定x的变化区间[a,b].2.把区间[a,b]分成n个小区间，取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的近似表达式量U的元素.3.写出定积分的表达式：也叫微分元素.作图第18页/共21页 20二、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.直角坐标系情形曲边梯形的面积oyxxoy其面积为上曲线下曲线第19页/共21页 21(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算)xyoy+dyycdxoyy+dyycd则面积为右曲线左曲线曲边梯形的面积第20页/共21页