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高数线面积分会计学第1页/共34页第十部分 曲线、曲面积分 一. 重点和难点：了解多元函数积分学的整体思想。 1. 第Ⅰ型 、第Ⅱ型曲线积分的定义、性质、各自不同的计算方法和两型曲线积分互相转换的关系式。 2. 第Ⅰ型 、第Ⅱ型曲面积分的定义、性质、各自不同的计算方法和两型曲面积分之间互相转换的关系式。 3. 格林公式的条件、结论和应用 。 4. 平面曲线积分的四个等价命题，它们等价的条件，以及应用。 5. 高斯公式的含义和用法. 6. 曲面积分与曲面无关的条件. 7. 斯托克斯(Stokes)公式的含义和用法. *8. 空间曲线积分的四个等价命题. 9. 了解散度，会计算散度. 10. 了解旋度，会计算旋度.习题课第2页/共34页11. 曲线积分和曲面积分在实际中的应用：求曲线、曲面的质量、重心和转动惯量；解决变力作功问题；解决矢量场沿有向闭曲线的环量以及通过曲面的通量计算问题。 填空(4个). 二. 下列计算对吗？ (5题) 三. 判别积分的类型并计算. (4题) 四. 课堂练习. 1. 单项选择题(3题) 2. 计算题(3题) 积分区域积分区域第3页/共34页（按积分区域分类）一.多元函数积分学概况一型：对弧长定积分曲线积分推 广二型：对坐标推 广Stokes 公式格林公式一型：对面积二重积分曲面积分D推 广二型：对坐标推 广高斯公式三重积分?⌒L指曲线 AB第4页/共34页1. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲线积分的比较计算方法曲线积分标准形式物理意义相似处不同处第一型(对弧长)积分下限 上限1.都是化曲线积分为 定积分计算。2.都要把曲线表示式 代入被积函数。此处下限是? , 上限是?...第二型(对坐标)积分下限为起点A的 t 值上限为终点 B的 t 值L方向：从A?B两型之间的关系..第5页/共34页2. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲面积分的比较曲面积分标准形式物理意义计算方法第一型(对面积)? 指空间曲面第二型(对坐标)?为有向曲面两型之间的关系...第6页/共34页3. 格林公式解决平面的曲线积分与二重积分的联系问题。若：则有D其中 L 是 D 的整个正向边界曲线.L特殊情况(D是复连通的)下，格林公式成为：lD(逆)(顺)L注：(逆)(逆)第7页/共34页4. 平面曲线积分的四个等价命题.等价的意义是：若其中一个成立，另外三个也成立。第8页/共34页5. 高斯公式解决曲面积分与三重积分的联系问题.若：则有其中 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧....第9页/共34页6.曲面积分与曲面无关的条件. .第10页/共34页7. Stokes 公式解决曲线积分与曲面积分的联系问题.若：??则有..第11页/共34页*8空间曲线积分的四个等价命题..第12页/共34页9. 散度.例：解：..第13页/共34页10. 旋度例：.解：.由轮序对称性，第14页/共34页11.曲线积分和曲面积分的应用: 填空.⌒....⌒y0x第15页/共34页二 下列计算对吗？解：L?aD以上解法对吗？...zyox第16页/共34页二2??1解：以上解法对吗？?Dxya?2....zyox第17页/共34页二3??1解：以上解法对吗？?Dxya?2...zyox第18页/共34页二4??1解：?以上解法对吗？Dxya?2取上侧；.取下侧...zyox第19页/共34页二5?解：??a以上解法对吗？...第20页/共34页三 判别积分的类型并计算（4个）⌒⌒第21页/共34页3.第22页/共34页四 课堂练习. 1. 单项选择题CBB第23页/共34页2. 计算题习题课第24页/共34页.谢 谢 使 用返回首页yox第25页/共34页三1.⌒解类型：I 型曲线积分⌒C(1,2)⌒其中，B(0,1)A(–1,0)...yox第26页/共34页⌒三2.解类型：II 型曲线积分方法 I： 直接计算.C (1,4)4B(2,4)⌒1A(1,1)1.也可以用下面的方法：.yox第27页/共34页⌒三2.方法 II：解类型：II 型曲线积分 贴补，用格林公式. 先 xC(1,4)4B(2,4)D1A(1,1)1...zyox第28页/共34页三3.解类型：I 型曲面积分4Dxy用平面极坐标...zoyxzoy第29页/共34页三4.?由第一卦限和第二卦限中的锥面?1和?2构成.解类型：II 型曲面积分其上侧在yOz平面的投影为负；h?2其上侧在yOz平面的投影为正.?1Dyz 图形？hDyzz = y..也可以用下面的方法：..第30页/共34页三4.方法 II:解类型：II 型曲面积分 贴补，用高斯公式.z需贴补侧面 ??（右侧）和半圆顶面 ?半圆（下侧）.h?半圆??oyxhDxy 图形？