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高数多元函数概念极限连续会计学第1页/共29页Ch7-1 多元函数的基本概念 一、平面点集的有关概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第2页/共29页一、平面点集的有关概念1. 邻域第3页/共29页2. 区域例如，即为开集．第4页/共29页第5页/共29页　(6) 区域 连通的开集称为区域或开区域．开区域连同它的边界一起称为闭区域(a)开区域(b)(c)闭区域(d)(a)(c)(d)(b)第6页/共29页3. 有界集例如，有界闭区域；无界开区域．第7页/共29页4. 聚点说 明(1) 内点一定是聚点；(2) 边界点一定是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点．第8页/共29页(3) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0) 是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．第9页/共29页5. n维空间注：(1) n维空间的记号为(2) n维空间中两点间距离公式 第10页/共29页设两点为 特殊地, 当n=1，2，3 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．注：n维空间中邻域、区域等概念邻域：内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．第11页/共29页二、多元函数的概念1. 引例? 圆柱体的体积? 定量理想气体的压强? 三角形面积的海伦(秦九韶)公式第12页/共29页2. 二元函数的定义　定义 1 设D是平面上的一个点集，则称映射 f:D?R为定义在D上的二元函数，类似地可定义三元及三元以上函数．点函数符号 f (P) 第13页/共29页例1 解所求定义域为第14页/共29页3. 二元函数z=f(x,y) 的图形二元函数的图形通常是一张曲面.第15页/共29页例如, 二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.三元函数 定义域为单位闭球图形为空间中的超曲面.第16页/共29页三、多元函数的极限1. 定义第17页/共29页说 明（1）定义中 P?P0 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4） 二元以上的函数的极限可类似地定义。第18页/共29页2．二元函数极限问题举例 例2 用定义证明 证明:原结论成立．第19页/共29页例3 求极限 解其中第20页/共29页例4 证明分析：要证明二重极限不存在，可使P选择不同的路径而趋于P0，如有不同的极限，则二重极限不存在。证明：令P沿直线y=kx而趋于点P0(0,0),则有显然，此极限值随k的变化而变化,所以二重极限第21页/共29页确定极限不存在的方法：第22页/共29页四、 多元函数的连续性 1.多元函数连续性的定义 定义3说 明(1) 间断点的判别与一元函数类似。(2)多元函数不仅有间断点而且有间断线。第23页/共29页例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在 (例4), 故 ( 0, 0 )为其间断点.又如, 函数上间断.在圆周第24页/共29页2. 多元初等函数的连续性 多元初等函数：由常数及不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．第25页/共29页例5解第26页/共29页3. 闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．第27页/共29页小结 本节主要讨论了多元函数的概念、多元函数极限及连续的概念． 本节要求了解多元函数极限及连续的概念，知道多元初等函数的连续性及有界闭区域上连续函数的性质，会求一些二元函数的极限．第28页/共29页思考： 解：当P沿直线y=kx而趋于(0，0)点时， 当P沿曲线y=kx2而趋于(0，0)时,它是与k的取值有关的，所以二重极限例如