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会计学1高等数学有理式的不定积分方法 部分分式:第1页/共33页 有理函数积分法第2页/共33页 第3页/共33页 如果 有一个 重实根 , 则 的部分分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和:如果 中包含因子 时 , 则 的部分分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和:第4页/共33页 例如 将真分式 分解成部分分式. 第5页/共33页 四种典型部分分式的积分: 变分子为 再分项积分 第6页/共33页 第7页/共33页 而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.第8页/共33页 说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,第9页/共33页 例1 求解第一种方法: 待定系数法，可以用如下的方法求出待定系数.上式通分后得比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组：第10页/共33页 从而解得故有 于是第11页/共33页 化简并约去两端的公因子 后为得例 2 求第二种方法(赋值法)第12页/共33页 两端去分母,得或比较两端的各同次幂的系数及常数项，有解之得解第13页/共33页 第14页/共33页 补例解第15页/共33页 例 3 求解即有即第16页/共33页 用递推公式求或第17页/共33页 第18页/共33页 总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分都能积出,且原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说,多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的乘积,从而把有理函数 分解为多项式与部分分式之和.因此,有理函数的原函数都是初等函数. 但是,用部分分式法求有理函数的积分,一般说来计算比较繁,只是在没有其它方法的情况下,才用此方法.例4 求解第19页/共33页 补例 求解 原式注意本题技巧按常规方法较繁第20页/共33页 (1) 三角有理式： ——由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．三角函数有理式可记为 2. 三角函数有理式的不定积分 (2) 三角有理式的积分法：第21页/共33页 令万能替换公式：第22页/共33页 例 4 求解令，则第23页/共33页 注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；（2）万能代换不一定是最好的；（3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的代换方法（非“万能的”）：1）若 R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=cosx 为积分变量；2）若 R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=sinx 为积分变量；3）若 R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) ，可取 u=tanx 为积分变量.第24页/共33页 例 5 求解第25页/共33页 例 6 求解第26页/共33页 例 7 求解注第27页/共33页 3. 某些根式的不定积分令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:令第28页/共33页 例 8 求解 令则原式第29页/共33页 例 9 求解 令则原式第30页/共33页 补例 求解 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有原式令第31页/共33页 内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .简便 , 习题 3-3 7,9,13,19,21,25,31,33.第32页/共33页