高等数学映射与函数.pptxVIP

会计学1高等数学映射与函数 2一、集合(1)定义组成这个集合的事物称为该集合的元素.(3)符号(4)表示 列举法 描述法(5)常用集合具有某种特定性质的事物的总体称为集合.1.集合概念(2)有限集和无限集映射与函数第1页/共52页 3不含任何元素的集合称为空集, 规定空集为任何集合的子集.(6)关系子集 ( 包含 ),相等,2.集合的运算 并, 交, (1)基本运算BAIBAIA∩B={x|x ? A 且 x ?B}A∪B={x|x ? A 或 x ?B}映射与函数第2页/共52页 4 补, 直积或笛卡儿乘积:差, ABIA\B={x|x?A且x?B}A\BIAB映射与函数第3页/共52页 5(2)运算法则交换律:结合律:分配律:对偶律:映射与函数第4页/共52页 63.区间和邻域开区间 (a, b):(1)有限区间闭区间 [a, b]:半开区间 [a, b):半开区间 (a, b]: 映射与函数第5页/共52页 7(2)无限区间映射与函数第6页/共52页 8(3)邻域点a的邻域U(a):以点a为中心的任何开区间.点a的δ邻域U(a, δ):U(a, δ)的实质:U(a, δ)=(a –δ, a +δ ).点a的左δ 邻域:(a –δ, a ).点a的右δ 邻域:(a , a+ δ).问题：如何用邻域表示(1,2)呢？ 映射与函数第7页/共52页 9二、映射 引例(1)一个班里有6名男同学,记为X={1, 2,…, 6}，入学时分配宿舍，共有4个房间可供分配，记为Y={301, 302,303,304}．我们确定分配方案如下： {1}?301，{2, 3}?302，{4, 5}?303，{6}?304． 引例(2)设X=Y={1, 2, 3, 4}，规定对应法则：1?2，2?3，3?4，4?1． 共同之处: 在两个集合X和Y之间建立了一种对应关系,使对X中的每一个元素,有Y中一个唯一确定的元素与它对应。 映射与函数第8页/共52页 101.映射概念(1)定义(2)要素设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X → Y如，X={三角形}，Y={圆}，f：X → Y,对每个x?X,有唯一确定的y(x的外接圆)?Y与之对应. 映射与函数第9页/共52页 11注记映射与函数第10页/共52页 12(3) 满射、单射和双射(一一映射) 满射：单射：双射（一一映射）：既是单射，又是满射.Rf=Y ,即Y中任一元素都是X中某元素的像； 映射与函数第11页/共52页 13补例1 设X是一切非负实数所成的集合，Y= {y?y?R, 0?y1}，f是从X到Y的一个映射，证明：f是从X到Y的一一映射。f(x)=．证明: ①设y?Y，取x= ，因为0?y1，所以x?0，即x?X．我们有f(x)===y． 所以f是满射。 映射与函数第12页/共52页 14②设x1, x2?X， 所以f是单射。 综合(1)，(2)所述，f是一一映射。 (4)几种常用的映射(算子)泛函 f：X → Y(数集);变换 f：X → X;函数 f：X (实数集或其子集)→ Y(实数集).映射与函数x1 ≠ x2时，f(x1) ≠ f(x2)第13页/共52页 152.逆映射与复合映射(1)逆映射问题：请分析补例1是否存在逆映射？ 设f是X到Y的单射,则我们可以定义一个从Rf到X的新映射g，即g：Rf?X， 对每个y?Rf，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y．这个映射g称为f的逆映射，记作f-1．其定义域Rf，其值域X．映射与函数第14页/共52页 16(2)复合映射注记:两个映射的复合是有顺序的;映射与函数第15页/共52页 17３.举例　　　例４　映射与函数第16页/共52页 18三、函数1.函数概念(1)定义 设D是实数集，则称映射f : D→R为定义在D上的函数，通常简记为：其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，一般记作(2)要素定义域D及对应法则f．映射与函数第17页/共52页 19注记:区别符号f与f(x)的不同含义；函数是特殊的映射.掌握函数定义域D的确定原则:(3)函数定义域D的确定 (ⅰ)对有实际背景的函数，根据问题的实际意义确定 ;(ⅱ)对抽象地用算式表达的函数，根据其所允许之取值而定（此为自然定义域）. 映射与函数第18页/共52页 20(4)单值函数与多值函数若对?x?D?唯一y? Rf，则y=?(x)单值； 若?x?D?多个y? Rf，则y=?(x)多值。 如，x2+y2=r2 (r0)确定y是x的二值函数。 对于多值函数，往往只要附加一