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会计学1高等数学无穷级数 求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散性；求幂级数收敛域；求和函数；函数展开成幂级数.当 时为数项级数;当 时为幂级数; 为傅立叶级数.为傅氏系数)时,*当对于函数项级数第1页/共40页 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足根值审敛法收 敛发 散不定比较审敛法用其它方法判别*积分判别法部分和极限比值审敛法一、数项级数的审敛法第2页/共40页 正项级数比较审敛法设 与 是两个正项级数，且则：⑴若级数 收敛，则级数 也收敛；⑵若级数 发散，则级数 也发散.常用来比较的级数： 级数当 时收敛，当 时发散.（1）第3页/共40页 例如（2）等比级数例如第4页/共40页 极限形式的比较审敛法 设 与 是两个正项级数，且⑴若则级数 与级数 同时收敛，同时发散；⑵若 且级数 收敛，则级数 收敛；⑶若 且级数 发散，则级数 发散.第5页/共40页 3. 任意项级数审敛法Leibniz判别法: 若且则交错级数收敛 ,为收敛级数，概念: 设且余项若收敛 ,称绝对收敛,若发散 ,称条件收敛.第6页/共40页 例1 判别下列级数的敛散性:解答提示: (1) 据极限形式的比较判别法, 原级数发散 .因调和级数发散,第7页/共40页 利用比值判别法, 可知原级数发散.用比值法, 可判断级数 收敛再由比较法可知原级数收敛 .利用比值判别法, 可知原级数在 时发散， 时收敛； 时仅当 收敛.第8页/共40页 例2 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ;0 p ≤1 时, 条件收敛 ;p≤0 时, 发散 .(2) 因各项取绝对值后所得强级数 收敛, 原级数绝对收敛 .故 第9页/共40页 因单调递减, 且但所以原级数仅条件收敛 .由Leibniz判别法知级数收敛 ;第10页/共40页 因 =故原级数绝对收敛 .第11页/共40页 ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论处的敛散性 .? 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法二、求幂级数收敛域的方法第12页/共40页 例4 求下列幂级数的收敛域 D.1） ∴ 解： 收敛区间因为所以收敛域第13页/共40页 2） ∴ 解： 收敛区间(-1,3).因为所以原级数收敛域为 [-1,3).第14页/共40页 1） 解： ∴∴ ，原级数收敛. 例5 求下列幂级数的收敛半径 R .第15页/共40页 2） 解： 时 收敛 .∴∴第16页/共40页 ? 求部分和式极限? 初等变换法: 分解、套用公式? 映射变换法 （在收敛区间内）逐项求导或求积分难对和式积分或求导求和直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 数项级数求和三、幂级数和函数的求法 第17页/共40页 熟悉常用函数的幂级展开式： 1、 2、 3、 4、 第18页/共40页 5、等比级数： 注意：第19页/共40页 例6 求幂级数 的和函数.解法1： 先求出收敛区间 则 设和函数为第20页/共40页 解法2： 易求出级数的收敛域为 ，原式第21页/共40页 例7 求幂级数 的和函数.解: 先求出收敛区间设和函数为x≠0，∴ 第22页/共40页 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为而在级数发散,第23页/共40页 求例8 的和函数.解： ∵ ∴ 收敛域为（-1，1）. 设 ∴ 发散， 当 ， 发散. 当 第24页/共40页 解: 原式 = 的和 .*例9 （直接法)求级数（参见例6 ，也可用间接法解本题.）第25页/共40页 （间接法）求数项级数和：将其转化成幂级数求和函数问题. 原式 推广： ， . 例10 求