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会计学1高等数学曲线面积及格林公式习题 一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终练习题: P184 题 3 (1), (3), (6)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共30页 解答提示: 计算其中L为圆周提示: 利用极坐标 ,原式 =说明: 若用参数方程计算,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 P184 3 (1)第2页/共30页 P184 3(3). 计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧.提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共30页 P184 3(6). 计算其中?由平面 y = z 截球面提示: 因在 ?上有故原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共30页 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共30页 例1. 计算其中? 为曲线解: 利用轮换对称性 , 有利用重心公式知(?的重心在原点)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共30页 例2. 计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法1 令则这说明积分与路径无关, 故a 为半径的上半圆周.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共30页 解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共30页 思考题解答:(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共30页 计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 103(5).机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共30页 P185 6 .设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共30页 P185 10.求力沿有向闭曲线 ? 所作的功, 其中 ? 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示: 方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共30页 设三角形区域为? , 方向向上,则方法2利用斯托克斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共30页 二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域— 把曲面积分域投影到相关坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共30页 思 考 题1) 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面问下列等式是否成立? 不对 ! 对坐标的积分与 ? 的侧有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共30页 2. 基本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共30页 练习:P185 题4(3) 其中 ? 为半球面的上侧.且取下侧 , 提示: 以半球底面原式 =P185 题4(2) , P185 题 9 同样可利用高斯公式计算.记半球域为 ? ,高斯公式有计算为辅助面, 利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共30页 例3.证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证设 ? 为简单闭曲面, a 为任意固定向量,n 为?的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共30页 例4. 计