2022年考研数学二真题解析.docxVIP

2022年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二)试题 一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的． （1）时，，是非零无穷小量，给出以下4个命题： ①若，则; ②若，则; ③若，则; ④若，则; 其中真命题是：（ ） （A）①③. （B）①④. （C）①③④. （D）②③④. 【答案】（C）. 【解析】 ①若，则.因此，①正确. ②错，反例; ③若，则，则， 因此，③正确. ④若，则，则，则，即，④正确. 因此真命题有①③④，选C. （2） （A） （B） （C） （D） 【答案】（D） 【解析】 （3）在处二阶可导，以下说法正确的是（　） （A）若在的某个邻域内单调增，则 （B）若，则在的某个邻域内单调增 （C）若在的某个邻域内图像是凹的，则 （D）若，则在某个邻域内图像是凹的 【答案】 （B） 【解析】 在处二阶可导，则在处一阶连续可导，若，则在的邻域内均大于0（局部保号性），因此在此邻域内单调增． （4）设函数连续，令则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（C） 【解析】 综上，正确选项为（C）． （5）设为常数，有反常积分，则的取值范围是（　） 　　　　（B） （C） 　　　　　 （D） 【答案】（A） 【解析】先考虑， 若，因为，而收敛，故也收敛； 若，，且发散，故也发散. 再考虑，， 故与同敛散，故，即，选（A）. （6）已知数列 ( ) （A）若存在，则存在. （B）若存在，则存在. （C）若存在，则存在，但不一定存在. （D）若存在，则存在，但不一定存在. 【答案】（D）. 【解析】取，则（A）、（B）、（C）均错， 且（D）的“不一定存在”是正确的；（D）的“存在”的原因：当时，，而在上单调，故存在. （7）已知 则以下选项正确的是( ) （A）. （B）. （C）. （D）. 【答案】(A) 【解析】比较,令则,又所以,; 再比较,令 其中,则，故选(A). （8）设为3阶矩阵，，则有特征值的充分必要条件为： （A）存在可逆矩阵，，使得. （B）存在可逆矩阵，使得. （C）存在正交矩阵，使得. （D）存在可逆矩阵，使得. 【答案】（B） 【解析】A有个不同特征值，故一定可以对角化存在可逆矩阵，使得. （9）设矩阵，,则线性方程组解的情况为： （A）有解. （B）无解. （C）有无穷多解或无解. （D）有唯一解或无解. 【答案】（D） 【解析】.当且且时，有唯一解；当或或时均有无解. （10）设，若向量组与等价，则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（C） 【解析】 已知与等价，则 当时，与向量组等价矛盾，故 当时，与向量组等价矛盾，故 故排除；当，，故排除，于是该题选择. 二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分． （11） 【答案】 【解析】 （12）设确定了，则 【答案】 【解析】 同时对原等式两端求导：； 再次求导：， 当 （13） . 【答案】 【解析】 （14）微分方程的通解为 . 【答案】 为任意常数. 【解析】微分方程对应特征方程为：.可得特征值为.所以原方程的通解为： 为任意常数. (15) 曲线的极坐标方程为则曲线与极轴所围成的面积为 . 【答案】. 【解析】 （16）将的第二行与第三行交换，再将第二列的倍加到第一列得到矩阵，则 【解析】， 则 故 解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本题目满分10分） 已知函数在处可导，满足，求. 【答案】. 【解析】在处可导，则在处连续， 原式 (18)（本题满分12分） 已知微分方程，且满足条件，求的弧长. 【答案】. 【解析】由， 又， 即 从而弧长 (19)（本题满分12分） 设计算 【答案】 【解析】设，其中 ， ， 则二重积分 其中： ； 又关于轴对称，则； 故 （20） (本题满分12分) 已知可微函数满足,且, （1）记，求, （2）求的表达式和极值. 【答案】（1）；（2），极小值为 【解析】（1），令, （2） ,又 所以, 令得 令得或 得为极小值; 得在处不是极值. (21) (本题满分12分) 设在有二阶连续导数，证明：的充要条件为对不同实数. 【证明】，介于与之间