取整函数分析和总结.pdfVIP

.一、取整函数的性质 ⑴函数 y=[x] 的定义域为 R，值域 Z ； ⑵若 n ∈Z ，当 n ≤xn+1 时 ,[x]=n; 1 2 1 2 ⑶当 x x 时，恒有 [x ] ≤[x ] ； ⑷ x-1[x] ≤x[x]+1 ； ⑸若 n ∈Z ，则 [n+x]=n+[x] ，由这一性质可知 f （x ）=[x] 是最小正周期为 1 的周期函数 . 二、取整函数在求值中的应用 1 2 3 4 50 1.求值 ；[log 2 ]+[log 2 ]+[log 2 ]+[log 2 ]+ ．．．+[log 2 ] 解析：由取整函数的性质⑵可得 ,当2 n≤x2 n+1 (n ∈Z) 时 ,[x]=n, 所以 [log 21]+[log 22]+[log 2 3]+[log 24 ]+ ．．．+[log 2 50 ]=0+2 ×1+4 ×2+8 ×3+16 ×4+5 ×(50-31)=243 2. 由数 [1/100] ，[4/100] ，[9/100] ，[16/100] ．．．．．．[10000/100] 〕组成集合 A ，求集合 A 中的元素的个数。 2 n 2 n 1 解析：设 f （n ）= ，则 f （n+1)-f （n ）= ， 100 100 当 n ≥50 时f （n+1)-f （n ）1 2 2 2 50 51 100 所以 [ ],[ ],...,[ ]是 51 个互不相等的数 100 100 100 当 1 ≤n ≤49 时f （n+1)-f （n ）1, 且 [f （1)]=0,[f （49 ）]=[24.01]=24 所以 1 ≤n ≤49 时0 ≤[f （n ）] ≤24 且能取到该范围内的任一个整数 所以集合 A 中的元素的个数为 51+25=76. 点评：根据取整函数定义恰当进行分类，是解决以上两题的关键 . 3 、求 sin1 sin 2 sin3 sin 4 sin5 的值 . 解析： sin1 、 sin 2 、 sin 3 (0,1) ， sin 4 、 sin 5 ( 1,0) 三、取整函数在函数的应用 .4 、定义 f （x ）=x-[x] ，则以下结论正确的是（） A.f （3 ）=1.B. 方程 f （x ）=0.5 有且仅有一个实根 C.f （x ）是周期函数 D.f （x ）是增函数 . 解析：因为 x ∈Z 时 f （x ）=0 ，所以排除 A 、D ，又 f （0.5 ）=f （1.5 ）=0.5 ，排除 B.选 C. 点评：该题以取整函数为载体，综合考查函数的有关性质，试题新颖灵活 . 5. 用[x] 表示不超过 x 的最大整数，如 [1.8]=1 ．对于下面关于函数 2 f (x) (x [x]) 的四个命题： ①函数 y f (x) 的定义域为 R，值域为 [0,1] ； ②函数 y f (x) 的图象关于 y 轴对称； ③函数 y f (x) 是周期函数，最小正周期为 1； ④函数 y f (x) 在 (0,1) 上是增函数． 其中正确命题的序号是． （写出所有正确命题的序号） 答案：③④ 7. 已知 f （x ）=x[x] 的定义域为 [0 ，3] ，求 f （x ）的值域 . 解析：⑴