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中学趣味数学：足球联赛的理论保级 中学趣味数学：足球联赛的理论保级 PAGE / NUMPAGES 中学趣味数学：足球联赛的理论保级 中学兴趣数学：足球联赛的理论保级 分数 所谓理论保级分数，就是指一般来讲，一个参赛球队只需达到了这个分数，不论其他球队的成绩如何，都能保证自己不会降级。这个分数无疑能给那些成绩不好的球队的一个有效的参照，帮助他们调整策略。 自然，不单是我国的足球联赛，其余各个国家的足球联赛，都会有保级分数的问题。 那么这个理论保级分数应当如何计算呢？如何找到一种广泛合用于各国足球联赛的计算理论保级分数的方法呢？下边，我们成立一个数学模型解决这个问题。 模型成立与剖析 要想研究理论保级分数，就一定研究每支球队在每场比赛中的成绩。经过察看各大联赛的比赛状况，我们能够知道，球队的实力对照赛结果有很大的影响。比方，实力差距比较大的两支球队比赛，实力强的一方获胜的希望比较大。因此，假如议论联赛的积分状况，就不可以回避球队实力的差别问题。 可是球队的实力是一个很抽象的事物，不易计算和比较，为了能用数学语言描绘它，能够为每个球队引入一个参数，能够较好的描绘球队的实力称它为这个球队的实力数，我们能够定义随机变量 X 为一支球队在某一场比赛中的结果。它可能有三种状况，即胜（积 3 分）、平（积 1 分）、负（积 0 分〕。我们能够统计出每场比赛中两队的胜、平、负的频次（可近似地当作每种状况出现的概率） P，经过公式 求出一支球队在每场比赛中的数学希望。将全部比赛的数学希望值相加，就能够求出理论上这支球队的最后积分。此外，应当注意到主客场的差别对照赛结果的影响。因此，假如主客场状况不一样，相应的胜、负、平频次也不一样，数学希望值也就不一样。 一、模型假定 1 / 5 1．假定参加某一联赛的全部球队的实力数由小（实力强）到大（实大弱） 可组成一个等差数列。而且认为等差数列的首项为 1，公差为 1。由此，一个联 赛中的各个球队能够分别用一个数字取代，即，将全部 n 支参赛球队按实力由强到弱摆列 ,则挨次 1,2,3,4，...,n。这样每场比赛就有一个对应的实力数之差。 照实力数为 3 和 7 的两支球队之间的比赛，实力差是 4。 2．假定任何不行预知的要素与比赛结果没关。即比赛结果只与两支球队的 实力差和主客场要素相关。如认为球队 3 主场与球队 8 的比赛，和球队 1 主场 与球队 6 的比赛没有任何差别。 3．假定统得出的每个实力差值对应的比胜、负、平的频次等于在理论上这些状况出现的频次。 二、定义变量 ：一支球队在一场比赛中的数学希望值。 ：一支球队 i 在全部比赛中的数学希望值之和。 n:参加联赛的球队总数。 m：联赛结束后将要降级的球队数目。 s：一场比赛中实力较强的球队获胜的概率。 p：一场比赛中实力较强的球队战平的概率。 ：一场比赛中实力较强的球队失败的概率。解决问题 一、统计随机变量 X 的散布 我们选用了英格兰足球超级联赛、德国足球甲级联赛、意大利足球甲级联 赛、中国的甲级联赛中 2019～2019 赛季的详尽状况，并依据这些数据统计了当 实力数差分别为 1,2,3,...，19 时，较强的一方获胜、战平、战败的频次。以下 表：（单位：％） 2 / 5 二、计算各队的理论积分 有了这些数据以后，我们能够依据求随机变量的数学希望的公式：求出一 支球队在同比自己实力衰的球队的比赛里的教课希望。即当一支球队和比自己 实力强的球队比赛时，实力较强球队的战败概率就是实力较弱的球队的获胜概 率。即 这样一来，全部比赛的数学希望都能求出。也就是说，关于 每一支球队，其全部比赛数学希望值的和也能求出，我们用表示实力数 i 的 球队的全部数学希望值的和（理论积分）。而后，将 1～n 这支球队对应的指从大到小挨次摆列成数列 {}，因为在世界各国的足球联赛中对降级球队数目的规定不一样，有的是 2 支球以，有的是 3 支球队。依据不一样的状况，只需求出数列中相应的项（保级球队中的最低分数）就是待求的理论保级分数值了。 依据这类思路，我们使用 VisualBasic6.0编制一个程序来计算理论保级分 数。 算法简要说明 1.输入数据：将计算所需的变量 n、m 经过文本框 Textl、Text2 输入程序 中。 2.定义数组：将统计得出的 s、p、f 各概率值定义为三个数组 s()、p()、以便赋值。再定义数列 {}为一个一维数组 T(20)。 3．对概率赋值：将统计得的概率数据赋至各个数组中。 4．经过循环嵌套，计算最后每支球队的理论积分，即各个数学希望之和。 5．将恰巧保级的一支球队的分数输出之文本框 Text3 中。 详细源代码及说明（略） 运转源程序，得出下表数据： 这样，一般的足球联赛都能经过这个程序求出理论保级分数。考证模