专题68 利用同构特点解决问题【解析版】.docxVIP

利用同构特点解决问题 【热点聚焦与扩展】 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上,举例说明利用同构特点解决问题的方法与技巧. 1?同构式:是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式 2?同构式的应用: (1)在方程中的应用:如果方程和呈现同构特征,则可视为方程的两个根 (2)在不等式中的应用:如果不等式的两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个函数,进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式 (3)在解析几何中的应用:如果满足的方程为同构式,则为方程所表示曲线上的两点.特别的,若满足的方程是直线方程,则该方程即为直线的方程 (4)在数列中的应用:可将递推公式变形为“依序同构”的特征,即关于与的同构式,从而将同构式设为辅助数列便于求解,欢迎关注公众号数学杂说 【经典例题】 例1.设,满足 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】思路:本题研究对象并非,而是,进而可变形为,观察上下式子左边结构相同,进而可将相同的结构视为一个函数,而等式右边两个结果互为相反数,可联想到函数的奇偶性,从而利用函数性质求解 解: 设,可得为奇函数,由题意可得: 答案:B. 例2.设,则|“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充要又不必要条件 【答案】C 【解析】思路:观察可发现其同构的特点,所以将这种结构设为函数,分析其单调性.可得为增函数.所以,即,所以是充要条件 答案:C . 例3.若,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】思路:本题从选项出发可发现,每个选项通过不等式变形将分居在不等式两侧后都具备同构的特点, 所以考虑将相同的形式构造为函数,从而只需判断函数在的单调性即可 解: A选项:,设 ,设,则有恒成立,所以在单调递增,所以,从而存在,使得,由单调性可判断出: ,所以在不单调,不等式不会恒成立 B选项:,设可知单调递增.所以应该,B错误 C选项:,构造函数,,则在恒成立.所以在单调递减,所以成立 D选项:,同样构造,由C选项分析可知D错误 答案:C 例4.(2018·上海高考真题)已知实数???满足:,,,则的最大值为______.欢迎关注公众号数学杂说 【答案】 【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2), =(x1,y1),=(x2,y2), 由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=, 可得A,B两点在圆x2+y2=1上, 且?=1×1×cos∠AOB=, 即有∠AOB=60°, 即三角形OAB为等边三角形, AB=1, +的几何意义为点A,B两点 到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和, 显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行, 可设AB:x+y+t=0,(t0), 由圆心O到直线AB的距离d=, 可得2=1,解得t=, 即有两平行线的距离为=, 即+的最大值为+, 故答案为:+. 例5.(2019·山西高三月考(文))已知数列的前项和满足,且. (1)求数列的通项公式; (2)若,求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)当时,,∵,∴, 当时,, ∴,∵,∴,∴, ∴是以为首项,为公差的等差数列,∴; (2)由(1)得,∴, ∴ . 例6.(2019年高考全国II卷理)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,,. (I)证明:{an+bn}是等比数列,{an–bn}是等差数列; (II)求{an}和{bn}的通项公式. 【答案】(I)见解析;(2),. 【解析】(1)由题设得,即. 又因为a1+b1=l,所以是首项为1,公比为的等比数列. 由题设得,即. 又因为a1–b1=l,所以是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,,. 所以, . 例7.已知函数,为正常数,若,且对任意,都有,求的取值范围. 【答案】 【解析】思路:观察到已知不等式为轮换对称式,所以考虑定序以便于化简,令,则不等式变形为,将相同变量放置一侧,可发现左右具备同构特点,所以将相同结构视为函数,从而由且可知只需为增函数即可.从而只需不等式恒成立即可,从而求出的范围 解:,不妨设,则恒成立不等式转化为: 设,则由恒成立和可得: 只需在单调递增即可 恒成立 即恒成立 所以只需 令 在单调递减,在单调递增 例8.如图,设点在直线上