一对一辅导讲义：终结恒成立问题.pdfVIP

七剑下天山 终结恒成立 内容简介 本文系统阐述了如何解决含参数不等式的恒成立或成立问题、不等式的证明问题、方程有解或无解问 题，即尽量通过规避对参数的分类讨论，或降低分类讨论的难度，达到解决问题的目的. 1 目录 七剑下天山 终结恒成立 1 目录 2 七剑下天山 终结恒成立 3 一、直接讨论法 3 二、分离参数法 4 （一）常规法分离参数 4 （二）倒数法分离参数 6 （三）分类法分离参数 7 （四）换元法分离参数 9 三、分离函数法 10 四、特殊点效应 11 （一）端点效应——给定原始区间的端点效应 11 （二）端点效应——构造初始区间的端点效应 12 （三）非端点效应——最值点-极值点效应 13 （四）非端点效应——零点效应、其他特殊点效应 14 五、洛必达法则 14 六、不等式证明 17 （一）差值函数法 17 （二）最值比较法 17 七、数形结合法 20 终结篇——随机应变破恒立 23 （一）与零点有关的恒成立 23 （二）与单调性有关的恒成立 23 （三）与反函数有关的恒成立 24 （四）与最值有关的恒成立 25 （五）与最值函数有关的恒成立 26 （六）与切线型不等式有关的恒成立 27 （七）与多个变量取值任意性、存在性有关的（恒）成立 28 篇后语 30 2 七剑下天山 终结恒成立 含参数不等式的恒成立或成立问题、不等式的证明问题、方程有解或无解问题，一直是高考的热点．由 于解题方法灵活多变，所以也是学生的一个难点。 很多教辅资料上在解决含参数不等式的恒成立或成立这类问题时，主要是运用直接分类讨论法，即等 价转化为研究含参函数的最值；但如果采取直接分类讨论法，往往牵涉到对参数的分类讨论，这恰恰也是 学生的一个难点。虽然有时也运用分离参数法，但只是常规法分离参数（即等价转化为求具体函数的最值）， 未能将分离参数法的作用彻底发挥。 有鉴如此，本文探索出解决这类问题的一般方法，即通过常规方法转化，降低难度，解决含参数不等 式的恒成立或成立问题、不等式的证明问题、方程有解或无解问题．通读本篇文章，一定可以帮助学生提 高解决这类问题的能力。作为教师，理解了这类问题的破解过程，再逆向思维，可以编出不少新题. 说明：“恒成立”与 “成立”问题的求解是“互补”关系，在具体问题中究竟是求最大值还是最小值， 可以先联想 “恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的 “成立”问题是求最大值还是最 小值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．总而言之，方程有解、无解，不等式成立、恒成 立，都与最值或值域密切相关；值得注意的是，解决这类问题时，应该优先考虑分离参数法（数形结合法 对客观题也要优先考虑），因为它可以避免对参数的分类讨论；另外，如果是涉及一次函数或二次函数的 问题，有时利用它们本身的函数性质去解决问题，可能比分离参数法简单；要不要用分离参数法，取决于 分离后函数的复杂程度. 一、直接讨论法 所谓直接讨论法，就是对题中给定的函数，直接求导，通过对参数的分类讨论，确定函数的单调性， 从而求出参数取值范围. ( ) 2 ( ) 例1.设函数 = e − 1− − ，若当 ≥ 0时， ≥ 0，求的取值范围． ′( ) ′′( ) 解： = e − 1−2( ≥ 0)，则 = e −2，注意到 ∈ ,1，+∞) 1 ′′( ) ′( )