圆锥曲线课外补充知识.pdfVIP

维普资讯 欢迎加入高中数学竞赛及高考群：766755640 2008年第9期 中学数学研究 29 圆锥曲线中关于定值的十个重要结论 广东广雅中学 (广州，510160) 徐广华 定值问题是中学数学研究的重点之一．笔者 = 2 I oP l +2 I D I ，配方得(1 PFl I+I P I) = 经过研究后发现，圆锥曲线中有不少关于定值的有 2 l OP l +2c +2 I PFJ l·l JP I，且p l PFJ l·l P I+ 趣结论，下面列出其中重要的十个，并给出证明． I OP l =a 一c =a +b ，④得证 全文中，椭圆 1： ／口 +y ／b =1(ab 说明：通常把图1中的APF F 、APAB分别叫 0)，双曲线 ：a 一y2／b =1(a0，b0)，抛物 做椭圆的焦点三角形和顶点三角形． 线W3：Y =2px(p0)，圆锥曲线 包括 。、 和 尽管双曲线和椭圆在形状上有很大差异，但由 ． F。(一C，0)、F2(c，0)为 、 的左、右焦点，0 于它们都是有心曲线，仍然有许多类似的性质，因 为中心，e为离心率． 此可以通过类比的途径，由椭圆探索得到双曲线中 定理1 椭圆W。的长轴 有关定值的某些结论． 定理2 双曲线 的实轴的两端点分别为A、 上异于A、 的任意一点，，为 广 B，P是双曲线上异于A、B的任一点，，为APF。F2的 APF，F2的内心，PI的延长线 ＼、— 一 个旁心， 的延长线交 F。 的延长线于Q，设 交FIF2于Q，设 PFt 图1 PFlF2= ，／_PF2Fl= ， F2PF2：0，A_APB= ， 则 ①当点P在右支上时，tan(a／2)·cot(／3／2)= (e一1)／(e+1)为定值；当点 P在左支上时， cot(or／2)·tan(／3／2)=(e一1)／(e+1)为定值； ②cot(0／2)·tango=2／e为定值； ③I P，l：I加I=1／e为定值； ④I PFl 1．1 PF2 l+l OP I =a +b 为定值． ④I PFl 1．1 PF2 l—I OP I =b 一a 为定值． 定理2的证明可仿照定理1的证明方法推出， 不再赘述． 定理3 P，Q是椭圆 ，上两点，若直线OP，OQ的 斜率之积的绝对值为定值b ／a ，则I OPI +I OQ I = ： (2。)：(2。)： ： 。 。 ： a +b 为定值；反之，亦然．