半角模型专题专练.docVIP

- .. - -可修编. 半角模型例题 ，正方形ABCD中，∠EAF两边分别交线段BC、DC于点E、F，且∠EAF﹦45° 结论1：BE﹢DF﹦EF 结论2：S△ABE﹢S△ADF﹦S△AEF 结论3：AH﹦AD 结论4：△CEF的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE﹦DF时，△CEF的面积最小 结论6：BM2﹢DN2﹦MN2 结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA、FA是△CEF的外角平分线 结论9：四点共圆 结论10：△ANE和△AMF是等腰直角三角形〔可通过共圆得到〕 结论11：MN﹦EF〔可由相似得到〕 结论12：S△AEF﹦2S△AMN〔可由相似的性质得到〕 结论5的证明： 设正方形ABCD的边长为1 那么S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣S3 ﹦1﹣x﹣y﹣(1﹣x)(1﹣y) ﹦﹣xy 所以当x﹦y时，△AEF的面积最小 结论6的证明： 将△ADN顺时针旋转90°使AD与AB重合 ∴DN﹦BN′ 易证△AMN≌△AMN′ ∴MN﹦MN′ 在Rt△BMN′中，由勾股定理可得： BM2﹢BN′2﹦MN′2 即BM2﹢DN2﹦MN2 结论7的所有相似三角形： △AMN∽△DFN △AMN∽△BME △AMN∽△BAN △AMN∽△DMA △AMN∽△AFE 结论8的证明： 因为△AMN∽△AFE ∴∠3＝∠2 因为△AMN∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2 结论9的证明： 因为∠EAN﹦∠EBN＝45° ∴A、B、E、N四点共圆〔辅圆定理：共边同侧等顶角〕 同理可证C、E、N、F四点共圆 A、M、F、D四点共圆 C、E、M、F四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型 ：正方形，、分别在边、上，且，、分别交于、，连. 一、全等关系 〔1〕求证：①；②DG2﹢BH2﹦HG2；③平分，平分. 二、相似关系 〔2〕求证：①；②；③. 〔3〕求证：④；⑤；⑥. 三、垂直关系 〔4〕求证：①；②；③. 〔5)、和差关系 求证：①；②； ③. 例1、在正方形ABCD中，∠MAN﹦45°，假设M、N分别在边CB、DC的延长线上移动， ①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系. ②.求证：AB=AH. 例2、在四边形ABCD中，∠B+∠D﹦180°，AB=AD，假设E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF. 求证：∠EAF＝∠BAD 例3、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°，假设BD=5，CE=8，求DE的长。 例4、请阅读以下材料： ：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，假设．探究线段、、三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题： 〔1〕猜测、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜测给予证明； 〔2〕当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜测并给予证明． 例5、探究： 〔1〕如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：； 〔2〕如图2，假设把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD〞，那么〔1〕问中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明，假设不成立，请说明理由； 〔3〕在〔2〕问中，假设将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，那么〔1〕问中的结论是否发生变化？假设变化，请给出结论并予以证明.. 练习稳固1： 如图，在四边形ABCD中，∠B﹦∠D﹦90°，AB﹦AD，假设E、F分别在边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD. 求证：EF=BE +DF. 练习稳固2： 如图，在五边形ABCDE中，AB﹦BC﹦CD﹦DE﹦EA， ∠CAD＝∠BAE，求∠BAE的度数 练习稳固3： ：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC〔或它们的延长线〕于点M、N． 〔1〕如图1，当绕点旋转到时，有．当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由； 〔2〕当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关