河北省廊坊市廊坊四中2018年八年级下学期正方形的性质和判定讲义(含知识点、例题、练习题和答案).docVIP

河北省廊坊市廊坊四中 2018年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） 正方形 知识精讲 .正方形的定义 有一组邻边相等、一个内角是 90的平行四边形叫做正方形. .正方形的性质 1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角； 2 •正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质. 3 .正方形是轴对称图形，对称轴有 4条. .正方形的判定 1.有一组邻边相等的矩形是正方形； 2 .有一个角是直角的菱形是正方形； 3. 对角线互相垂直的矩形是正方形； 4. 对角线相等的菱形是正方形； 5 .对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形； 6.四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形. 四.弦图模型 如图 1, RtA DCE也 RtA CAF ;如图 2, Rt△ BAE也 RtA CBF . 三点剖析 一 .考点：1.正方形的性质；2.正方形的判定；3.弦图模型 二 .重难点：正方形性质的应用和判定；弦图模型. 三.易错点：正方形、矩形、菱形性质与判定的区别. 例题讲解 一：性质 例2.1.1如图，在正方形 ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若/CBF=20 ,则/ AED 等于 度. 河北省廊坊市廊坊四中 2018年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） 【解析】•••正方形ABCD, ••• AB=AD , / BAE= / DAE , 在厶ABE与厶ADE中， [ AB=AD :■■-, AE=AE • △ ABE ◎△ ADE ( SAS), • / AEB= / AED , / ABE= / ADE , •/ / CBF=20 ° • / ABE=70 ° • / AED=Z AEB=180 -45 °- 70 =65 ； 例2.1.2如图，正方形 ABCD的对角线 AC与BD相交于点 0, / ACB的角平分线分别交 AB、BD于 M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为( ) D C A. 4 B. 3 C. 2+厲 D. V2 + 1 【答案】C 【解析】过点 M作MF丄AC于点F,如图所示. D C •/ MC平分/ ACB，四边形 ABCD为正方形， • / CAB=45 °，FM=BM . 在 Rt△ AFM 中，/ AFM=90 °，/ FAM=45 °，AM=2， • FM=AM ?sin/ FAM=二 河北省廊坊市廊坊四中 2018年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） AB=AM+MB=2+ _ ； 例2.1.3如图，点E在正方形 ABCD的对角线 AC上，且EC=2AE直角三角形 FEG的两直角边 EF、 【解析】过 E作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q, •••四边形ABCD是正方形， ••• / BCD=90 ° 又••• / EPM= / EQN=90 ° • / PEQ=90 ° • / PEM+ / MEQ=90 ° •••三角形FEG是直角三角形， • / NEF= / NEQ+ / MEQ=90 ° • / PEM= / NEQ , •/ AC 是/ BCD 的角平分线, / EPC= / EQC=90 ° , • EP=EQ ,四边形PCQE是正方形， 在厶EPM和厶EQN中， f ZPEM=ZNEQ I EP二瓯 ， I ZEPM=ZEQN • △ EPM ◎△ EQN (ASA ) • Sa eqn=Sa epm , •四边形EMCN的面积等于正方形 PCQE的面积, •••正方形ABCD的边长为a , • AC= . : ■:a , 河北省廊坊市廊坊四中 2018年八年级下学期正方形的性质和判定讲义(含知识点、例题、练习题 和答案) •/ EC=2AE , EC= ••• EP=PC==a, 3 •正方形PCQE的面积=壬£尸2, 2 •四边形EMCN的面积=」a2, g 故选：D. 例2.1.4如图，在边长为 6的正方形 ABCD中，E是边CD的中点，将△ ADE沿AE对折至△ AFE延 长EF交边BC于点G,连接AG. (1)求证：△ ABG ◎△ AFG ; (2 )求BG的长. 【答案】(1)证明见解析；(2) 2 【解析】(1 )在正方形 ABCD中，AD=AB=BC=CD / D=Z B=Z BCD=90 , •/将△ ADE沿AE对折至△ AFE , • AD=AF , DE=EF , / D= / AFE=90 ° • AB=AF , / B= / AFG=90 ° 又••• AG=AG , 在 Rt △ ABG 和 Rt △ AFG 中， AG=AG AB 二 • △ ABG ◎△ AFG ( HL); (2) •/ △ A