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加强命题在数学归纳法中的运用 湖北省襄阳一中 苏辉仙 数学归纳法是证明关于自然数 N 的不等式的一种常见方法 ,但我们在实际解 题中常会遇到 ,直接证明该命题不太容易 ,或者按常规思路去运用递推假设也不容 易达到目的的现象 ,这时如果我们把该命题适当加强 ,加强命题的方式有两种 :一 是把原命题的结论加强 ,二是把命题一般化 .加强后的命题更具活力 ,更有利于数 学归纳法的证明 ,下面略举例说明 . 1,加强命题的结论 1 1 1 例 1,设 n 为自然数 n 1 ,求证 : 2 2 2 2 1 2 n [ 分析] 这是一个与自然数有关的命题 ,当 n 1 时不等式显然成立 ,假设 n k (k 1) 1 1 1 时 不 等 式 成 立 . 即 2 2 2 2 那 么 当 n k 1 1 2 k 1 1 1 1 1 1 时, 2 2 2 2 2 2 由于 2 2 2 递推难以实施 , 1 2 k (k 1) (k 1) ( k 1) 1 思路受阻 ,此时需加强命题的结论 , 联 想 到 lim 0 时 ,不防把结论加强为 n n 1 1 1 1 2 2 2 2 若此式成立 ,则所证不等式也很容易成立 ,下面就用数 1 2 n n 学归纳证明 : (i ) 当 n 1时 1 1不等式成立 1 1 1 1 (ii ) 假 设 n k( k 1 )时 , 不 等 式 成 立 即 2 2 2 2 1 2 k k 1 1 1 1 1 1 1 那么当 n k 1 时, 2 2 2 2 2 2 1 2 k ( k 1) k ( k 1)k k 1 即当 n k 1 时,命题也成立 ,综上 (i ), (ii )对于一切 n 1 ,加强后的命题成立 ,即 1 1 1 1 1 1 1 2 2