可将阶微分方程讲解.ppt

一阶微分方程小结 1 、可分离变量方程 3 、全微分方程 ? 2 、一阶线性方程 ] ) ( [ : ) ( ) ( C dx e x Q e y dx x P dx x P ? ? ? ? ? ? 通解 ). ( ) ( y g x f dx dy ? ). ( ) ( x Q y x P dx dy ? ? 齐次方程 ). ( x y f dx dy ? 解法 y u x ? 令 化为可分离变量型 第五节 可降阶的高阶微分方程的解法 解法 型 接连积分 n 次，得通解． 特点 型 代入原方程 , 得 ), ( x P y ? ? 令 解法 , P y ? ? ? ? … 一、可降阶型 . 2 x e x y y x ? ? ? ? ? ? 求解 例 1 解 代入方程，为 x e x P P x ? ? ? ? 2 x xe P x P ? ? ? ? ? 1 . 0 ) 4 ( ) 5 ( 的通解 求方程 ? ? y xy 解 代入原方程 两端积分 , 得 原方程通解为 ) ( ) 5 ( x P y ? ? , 1 ) 4 ( x C y ? 即 , 2 1 2 2 1 C x C y ? ? ? ? ? , 2 6 120 5 4 2 3 3 2 5 1 C x C x C x C x C y ? ? ? ? ? 5 4 2 3 3 2 5 1 d x d x d x d x d y ? ? ? ? ? 例 2 ), ( y P y ? ? 令 特点 . x 不显含自变量 型 解法 代入原方程 , 得 ( , ). dP P f y P dy ? ( ) , dy dP y P y P dx dy ?? ? ? ? . 0 2 的通解 求方程 ? ? ? ? ? y y y 解 , dP y P dy ? ? ? 则 代入原方程得 原方程通解为 例 3 ), ( y P y ? ? 令 . 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y y y y y 求解 解 ), ( y p y ? ? 设 代入原方程得 例 4 ), ( y P y ? ? 令 可 降 阶 型 , dy dp P y ? ? ? ), ( x P y ? ? 令 , P y ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( : 2 2 x f y x Q dx dy x P dx y d ? ? ? 一、定义 二阶线性方程 二阶 齐次线性 二阶 非齐次线性 n 阶线性 ). ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( x f y x P y x P y x P y n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第六节 高阶线性微分方程 二、线性微分方程解的结构 1. 二阶齐次线性方程 定理 1 如果 ) ( 1 x y 与 ) ( 2 x y 是方程 (1) 的两个解 , 那么 2 2 1 1 y C y C y ? ? 也是 (1) 的解 . （ 2 1 , C C 是常数） ) 1 ( 0 ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? y x Q y x P y 是通解吗？ 2 2 1 1 y C y C y ? ? 例如 ? ? ? ? 如 线性相关 , I x ? ? 的通解 是 如证 0 sin cos : 2 1 ? ? ? ? ? ? y y x C x C y 常数， ? ? ) ( ) ( 2 1 x y x y 结论 : 2. 二阶非齐次线性方程的解的结构 : 定理 3 设 * y 是方程 （ 2 ） 的一个特解 , Y 是与 (2) 对应齐次方程 (1) 的通解 , 那么 * y Y y ? ? 是 (2) 的通解 . ) 1 ( 0 ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? y x Q y x P y 1 2 : cos sin y C x C x x y y x ? ? ? ? ? ? ? 如证 是 的通解 定理 4 设 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 x f x f y x Q y x P y ? ? ? ? ? ? ? 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程 , ) ( ) ( ) ( 1 x f y x Q y x P y ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( 2 x f y x Q y x P y ? ? ? ? ? ? 的特解 , 那么 * 2 * 1 y y ? 就是