人口指数模型.docxVIP

人口指数模型 指数函数的数据拟合 世界人口预测问题 下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单位：亿 ) 年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人 29.7 30.6 31.5 32.1 32.3 32.8 33.5 34.2 34.8 口 2 1 1 3 4 5 6 0 3 有人根据表中数据，预测公元 2000 年世界人口会超过 60 亿。这一结论在六十年代末令人难以置信， 但现在已 成为事实。试建立数学模型并根据表中数据推算出 2000 年世界人口的数量。 根据马尔萨斯人口理论 ，人口数量按指数递增的规律发展 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题， 认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在 1798 年，英国经济学家马尔萨 T.R.Malthus,1766-1834) 就提出了自然状态下的人口增长模型： y0 ert 其中 t 表示经过的时间， y0 表示 t＝ 0 时的人口数， r 表示人口的年平均增长率。 表 3 是 1950～1959 年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数／万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1)如果以各年人口增长平均值作为我国这一时期的人口增长率 （精确到 0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符 ; 解：设 1951~1959 年的人口增长率分别为 r1,r 2,......,r 9. 55196(1 r 1 ) 56300, 可得1951年的人口增长率r1 0.0200. 同理可得 , r 2 0.0210,r r 5 0.0197,r r 8 0.0222,r  3 6 9  0.0229,r 0.0223,r 0.0184.  4 7  0.0250, 0.0276, 于是 , 1951~1959年期间 ,我国人口的年均增长率为 令y0 55196,则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为 r (r 1 r 2 ... r 9 ) 9 0.0221 y 55196e 0.0221 t .t N . 由图 4 可以看出 ,所得模型与 1950~1959 年的实际人口数据基本吻合。 根据表格 3中的数据作出散点图 ,并作出函 数 图 4 （2）如果按表 3 的增长趋势，大约在 哪一年我国的人口达到 13 亿？ 将 y=130000 代入 y 55196e0.0221t .t N . 由计算可得 t 38.76 39 所以 ,如果按表 3 的增长趋势 ,那么大约在 1950 年后的第 39 年(即 1989 年)我国的人口就已达到 13 亿.由此可以看到 ,如果不实行计划生育 ,而是让人口自然增长 ,今天我国将面临难以承受的人口压力 . function y=ys1(a,t) y=55196*exp(a*t); t=[0:9]; y=[55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207]; a0=[1]; [a,res]=lsqcurvefit(ys1,a0,t,y) t1=[0:0.1:9]; y1=55196*exp(0.0220*t1); plot(t1,y1,t,y,*) 例1 已知 1790 —1990 年间美国每隔十年的人口记录如下： (人口单位： 106) 年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.2 23.2 年 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 106.5 年 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 用以上数据检验 Malthus 人口 (指数 )增长模型 方法一 (1)编写函数 M 文件 fit1 （图 1） function y=fit1(a,t) y=3.9*exp(a*(t-1790)); y y0 ert (2)输入并运行如下命令 t=1790:10:1990; y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,5 0.2,62.9,76,92,