奥数五大定理.pdfVIP

五大定理求面积： 　例 1 右图中长方形的长是 20，宽是 12，求它的内部阴影部分面积. 　　 　　解：ABEF 也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与 BE 一样长.　而三个三角形底边 的长加起来，就是FE 的长.因此这三个三角形的面积之和是FE×BE÷2，　它恰好是长方形ABEF 面积的 一半.同样道理，FECD 也是长方形，它内部三个三角形(阴影部分)面积之和是它的面积的一半. 因此所有阴影的面积是长方形ABCD 面积的一半，也就是　20×12÷2=120. 通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分 成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形 ABCD 是由这若干个长方形 拼成.因此所有这些直角三角形(阴影部分)的面积之和是长方形ABCD 面积的的一半. 如图，将四边形 ABCD 的四条边AB、CB、CD、AD 分别延长两倍至点 E、F、G、H， 若四边形 ABCD 的面积为 5，则四边形EFHG 的面积为 60 平方厘米 考点：组合图形的面积． 专题：平面图形的认识与计算． 分析：根据四边形 ABCD 的面积是 5，要求四边形EFGH 的面积，只要求出三角形 EFB，三角形FCG，三角形GDH 和三角形 AEH 四个三角形的面积之和再减去四边 形 ABCD 的面积，即可解决问题 解答：解：连接 AC、BD、ED、EC、CH S△BEF+S△DHG+S△AEH+S△CFG =4S△ABC+46S△ACD+9S△ABD+9S△BCD =4 （S△ABC+4S△ACD）+9 （S△ABD+9S△BCD） =4×5+9×5 =65 （平方厘米） S 四边形EFGH=65-5=60 （平方厘米） ．如图，将四边形ABCD 的四条边AB，BC，CD，DA 分别延长两倍，形成一个大的四边形 EFGH，若 四边形ABCD 的面积为 5 平方厘米，那么四边形 EFGH 的面积是 65 平方厘米． 考点：组合图形的面积． 专题：平面图形的认识与计算． 分析：根据四边形 ABCD 的面积是 5，要求四边形EFGH 的面积，只要求出四边形ABCD 四周多出来 的四个三角形的面积之和即可解决问题． 解答：解：连接 AC、BD、ED、CH、BG、AF． 因的三角形AED 和三角形 ABD 的高相等，三角形AED 的底边是三角形ABD 底边的 2 部，所以三角形 AED 的面积是三角形ABD 面积的 2 倍． 因的三角形AED 和三角形 ADH 的高相等，三角形ADH 的底边是三角形AED 底边的 2 部，所以三角形 ADH 的面积是三角形AED 面积的 2 倍． 所以三角形 AEH 的面积是三角形ABD 面积的 6 倍． 同理可证三角形CFG 的面积是三角形BCD 面积的 6 倍，三角形 BEF 的面积是三角形ABD 面积的 6 倍， 三角形 DGH 的面积是三角形BCD 面积的 6 倍． S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DGH =6S△ABD+6S△BCD+6S△ABD+6S△BCD =12 （S△ABD+S△BCD） =12×5 =60 （平方厘米） S 四边形EFGH=60+5=65 （平方厘米） 答：四边形 EFGH 的面积是 65 平方厘米． 已知：四边形ABCD 的面积为 1． 如图 1，取四边形ABCD 各边中点，则图中阴影部分的面积为 ；如图 2，取 四边形ABCD 各边三等分点，则图中阴影部分的面积为 ；…；取四边形ABCD 各边的 n （n 为大于 1 的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为 ． 考点：中点四边形；三角形的面积． 分析：如图，连接 AC、BD．通过相似三角形的判定与性质可以求得图中空白部 分的面积，则根据图形易求阴影部分的面积． 解答： 如图，正方形 PQRS 有三个顶点分别在三角形 ABC 的三条边上，BQ=QC，请求出正方形 PQRS 的面积． 如下面左图所示，连接 PR，根据题意可以表示出三角形APR ，三角形 BPQ，三角形 CQR 与 三角形 ABC 的面积之间的关系，进而表示出三角形 PQR 的面积与三角形ABC 的面积之间的 关系，于是得出正方形 PQRS 的面积与三角形ABC 的面积之间的关系，从而得出三角形ABC 中除正方形之外的其余部分的面积与三角形ABC 的面积之间的关系；然后再利用旋转的方 式，如下面右图所示，将三角形 B