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长方体与正方体综合 知识框架 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． G H E F C D c b A a B ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体  2(ab  bc  ca) ； 长方体的体积：V  abc ． 长方体 ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 2 3 如果它的棱长为 a ，那么： S  6a ， V  a ． 正方体 正方体 长方体与正方体的体积 立体图形的体积计算常用公式： 立体图形 示例 体积公式 相关要素 V  abh 三要素： a 、 b 、 h 长方体 V  Sh 二要素： S 、 h V  a3 一要素： a 正方体 V  Sh 二要素： S 、 h 不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法 ③先补后去法 ④实际操作法 ⑤画图建模法 例题精讲 【例 1 】有一个 3×4×5 的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成 60 个 1×1×1 的 小正方体，请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？ 【例 1 】有 6 个相同的棱长分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米的长方体，把它们的某些面染上红 色，使得有的长方体只有 1 个面是红色的，有的长方体恰有 2 个面是红色的，有的长 方体恰有 3 个面是红色的，有的长方体恰有 4 个面是红色的，有的长方体恰有 5 个面 是红色的，还有一个长方体 6 个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为 1 厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？ 【例 2 】将 16 个相同的小正方形拼成一个体积为 16 平方厘米的长方体，将表面涂漆，然后分 开，结果，其中 2 面涂漆的小正方体有 8 个，那么 3 面涂漆的小正方体有__________ 个，4 面涂漆的小正方体有__________个。 【例 2 】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰 好有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多 少个小正方体？ 【例 3 】棱长是m 厘米（m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1 厘 米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比