高等数学教案--一元函数微分学的应用.docVIP

高等数学教案 —一元函数微分学的应用 课时授课计划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 一、柯西中值定理 定理 1（柯西中值定理）如果函数 f ( x) 与 F ( x) 满足下列条件： (1) 闭区间 [ a, b] 上连续； 在开区间 ( a, b) 内可导； F ( x) 在 (a,b) 内的每一点均不为零，那么，在 (a, b) 内至少有一点 ξ，使 得 f(b) f(a) f ( ) . F(b) F(a) F ( ) 二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为 0 型或 型不定式 (也称为 0型或 0 型未定型 ) 的极限 , 洛必达法则就是以导数为工具求不定式的 0 极限方法． 定理 2 ( 洛必达法则 ) 若(1) lim f ( x) 0 ， lim g (x) 0 ； x x0 x x0 (2) f (x) 与 g( x) 在 x0 的某邻域内（点 x0 可除外）可导，且 g ( x) 0 ； (3) lim f ( x) A ( A 为有限数，也可为 或 ) ，则 x x0 g ( x) f ( x) f (x) A lim lim xx0 g( x) xx0 g (x) 证 由于我们要讨论的是函数在点 x0 的极限，而极限与函数在点 x0 的值无 关，所以我们可补充 f ( x) 与 g( x) 在 x0 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影 响。令 f ( x0 ) g( x0 ) 0 ，则 f ( x) 与 g( x) 在点 x0 就连续了．在 x0 附近任取一点 x ，并应用柯西中值定理，得 f (x) f (x) f (x0 ) f ( ) ( ξ 在 x 与 x0 之间 ) . g( x) g (x) g (x0 ) g ( ) 由于 x x0 时， ξ x0 ，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕． 注：上述定理对 x 时的 0 未定型同样适用， 对于 x x0 或 x 时的未 0 定型 ，也有相应的法则． 例 1 求 lim x3 3x x 2 ． x 1 x 3 x2 1 解 lim x3 3x 2 = lim 3x2 3 =lim 6x =6=3． x 1 x 3 x2 x 1 x 1 3x2 2x 1 x 1 6x 2 4 2 例 2 求 lim 1 cosx ． π tan x 解 lim 1 cos x =lim sin x =0． x π tan x x π 1 cos2 x 例 3 求 lim 2 arctanx 1 x x arctanx 1 2 2 1 x 2 x 解 lim = lim = lim =1． 1 x 2 x x 1 x 1 x x2 除未定型 0 与 之外，还有 0 , ,00,1 , 0 等未定型，这里不一一介绍， 0 有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就 未定型再举一例． 例 5 求 lim x 1 ． x 1 x 1 ln x 解 这是 未定型，通过“通分”将其化为 0 未定型． 0 x 1 xln x ( x 1) x 1 ln x 1 lim lim lim x x 1 x 1 x 1 ln x x 1 ( x 1) ln x x 1 ln x x ln x 1 1 . lim lim x x 1 1 x 1 1 1 2 1 ln x x2 x x 在使用洛必达法则时，应注意如下几点： (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 0 或 未定型，若不是未定型， 0 就不能使用该法则； 如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3) 当 lim f (x) 不存在 ( 不包括 的情况 ) 时，并不能断定 lim f(x) 也不存在， g (x) g(x) 此时应使用其他方法求极限． 三、课堂练习 思考题 . 习作题 思考题答案 1．法则的三个条件必须同时满足． 2．不一定 （提示：画出一条曲线段，使其上任意一点处切线均不与两 端点连线平行 习作题答案 1．① 2; ②1; ③1; ④ 1． 1 1 x ) 2．① 1; ②e （提示：利用对数恒等式得 x x exln x , (1x) x ln(1 e x ）． 3． 1． 四、小结 柯西中值定理 洛必达法则 五、布置作业 P86 1.（1）（ 2）（3）（4）（ 5） 2. 第二课时 教学过程 一、拉格朗日 中值定理 定理 1 如果函数 f (x) 满足下列条件： （1）在区间 [ a, b] 上连续；（2）在开区间 (a, b) 内可导，那么，在 (a, b) 内至 少有一点 ξ，使得 f (b