《二次函数与一元二次方程》教学设计【初中数学人教版九年级上册】.docVIP

第二十二章 二次函数 二次函数与一元二次方程 教学设计 一、教学目标 1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系． 2．进一步培养学生的综合能力，渗透数形结合思想． 3．让学生通过实际问题，体会一元二次方程解的实际意义，发展数学思维，求解过程中，学会合作、交流． 二、教学重点及难点 重点： 1．体会方程与函数之间的联系； 2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 难点：二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系． 三、教学用具 多媒体课件。 四、相关资源 《画一次函数y=x+1的图象》动画，《打小球》动画，《三个函数图象》图片，《函数y=x2-2x-2的图象》图片。 五、教学过程 【复习提问】 1．解一元一次方程x+1=0； 2．画一次函数y=x+1的图象，并指出函数y=x+1的图象与x轴有几个交点，交点的横坐标是什么？ 此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【数学探究】探究一次函数的性质》，可以通过改变参数值，改变函数图象,进而观察k和b对一次函数图象的影响。 问题1 一元一次方程ax+b=0与一次函数y=ax+b有什么关系？ 师生活动：学生解方程和画图象，回顾一元一次方程与其对应的一次函数的关系，明确关于x的一元一次方程ax+b=0的解就是一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的横坐标；反之也成立． 设计意图：通过回顾一次函数与一元一次方程的关系，为后面用类比的方法继续探索二次函数与一元二次方程的关系作铺垫，使学生掌握解决这类问题的通用方法． 【自主探究】 问题1 如图所示，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t-5t2． 考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值． 解：（1）解方程 15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t1=1，t2=3． 当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m． （2）解方程 20=20t-5t2，t2-4t+4=0，t1=t2=2． 当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m． （3）解方程 20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0． 因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m． （4）小球飞出时和落地时的高度都为0 m，解方程 0=20t-5t2，t2-4t=0，t1=0，t2=4． 当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面． 设计意图：为学生提供参与数学活动的时间和空间，培养学生自主学习的习惯，激发好奇心，激发求知欲． 问题2 从上面你能看出，二次函数与一元二次方程有怎样的关系？试着用自己的语言来表达． 解：从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）．反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值． 结论：一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0． 图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【数学探究】探究二次函数与x轴交点》，可以通过改变参数值，改变函数图象位置,观察图象与x轴的交点情况。 设计意图：让学生初步感受到二次函数与一元二次方程的关系． 问题3 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1． 解：这些函数的图象如下图所示． 可以看出： （1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1． （2）抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x=3时，函数值是0．由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3．