《实际问题与二次函数（第3课时）》教学设计【初中数学人教版九年级上册】.docVIP

第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 教学设计 第 3 课时 一、教学目标 1．学会将实际问题转化为数学问题． 2．掌握用二次函数的知识解决有关的实际问题． 二、教学重点及难点 重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题． 难点：从现实问题中建立二次函数模型． 三、教学用具 多媒体课件。 四、相关资源 《抛物线形拱桥》动画，《》动画，《》图片。 五、教学过程 【创设情景，揭示课题】 问题 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4 m．水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 师生活动：小组交流、讨论，由两小组代表汇报结果，全班评比哪组的解法最好．教师巡查，指导不会数学建模的小组． 设计意图：创设问题情境，激发学生的学习兴趣．现实的、有意义的、富有挑战性的问题有利于学生主动地进行观察、交流、猜想、验证． 【合作探究，形成新知】 教师引导：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系． 解：如图所示： 设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2． 由抛物线经过点（2，－2），可得－2=a×22． 解得． 故这条抛物线表示的二次函数为． 当水面下降1 m时，水面的纵坐标为－3，所以． 解得（不合题意，舍去），． 所以水面宽度为m． 所以当水面下降1 m时，水面宽度增加了m． 设计意图：通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发学生的探索精神，并提高学生解决问题的自信心． 【例题分析，深化提高】 例 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(　　　 )． A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m 【解析】如图，建立坐标系． 设抛物线的解析式为y=ax2＋k， ∵(0，0.5)，(1，0)在抛物线上， ∴ 解得 ∴y=－0.5x2＋0.5． 当x=0.2时，y=0.48，当x=0.6时，y=0.32． ∴需要不锈钢支柱的总长度为(0.48＋0.32)×2×100=160(m)．故选C． 设计意图：通过问题，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值． 【练习巩固，综合应用】 1．某一拱桥呈抛物线形，其函数解析式为y=－0.25x2，当拱桥下水面宽为12 m时，水面离拱桥顶端的高度h是(　　 )． A．3 m B．m　C．m　D．9 m 2．如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下水面处在目前的水位时，水面宽AB=10 m．如果水位上升2 m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8 m．若洪水到来，水位以每小时0.1 m的速度上升，经过多少小时会达到拱顶? 参考答案 1．D 2． 解：以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系． 则抛物线的顶点E在y轴上，且B，D两点的坐标分别为(5，0)，(4，2)， 设抛物线的解析式为y=ax2＋k． 由B，D两点在抛物线y=ax2＋k上，得 解这个方程组，得a=－，k=． 所以y=x2＋． 所以顶点E的坐标为．则OE=m，÷0.1=(h)， 所以，若洪水到来，水位以每小时0.1 m速度上升，经过h会达到拱顶． 设计意图：加深认识，深化提高，查漏补缺． 六、课堂小结 1．一般地，当a＞0时，抛物线y=ax 2＋bx＋c的顶点是最低点，也就是说，当时，二次函数y=ax2＋bx＋c有最小值． 当a＜0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点是最高点，也就是说，当时，二次函数y=ax 2＋bx＋c有最大值． 2．解决二次函数最值问题的一般步骤： （1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值． 设计意图：总结、归纳学习内容，帮助学生加深对数形结合思想的理解，培养学生的数学应用意识． 七、板书设计 22.3 实际问题与二次函数（3） 1．用二次函数的知识解决有关的实际问题