三角函数综合应用.docVIP

学习数学，领悟数学，秒杀数学。 三角函数综合应用 秒杀秘籍：三角函数与二次函数对勾函数 利用换元法，将三角函数换元，然后代入二次函数进行分析计算，常见的换元有，或者，或者 二次函数类型：轴定区间定，轴动区间定，轴定区间动。 例1：函数y=2sin2x+2cosx﹣3的最大值是（　　） A．﹣1 B． C．﹣ D．﹣5 解：解：y=2sin2x+2cosx﹣3=﹣2cos2x+2cosx﹣1=﹣2（cosx﹣）2﹣≤﹣．∴函数y=2sin2x+2cosx﹣3的最大值是﹣．故选：C． 例2：若关于x的方程sin2x+asinx+4=0在区间[0，π]有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为（　　） A．a＜﹣4或a＞4 B．﹣5≤a≤﹣4 C．a＜﹣5 D．a≤﹣4 解：∵x∈[0，π]，故 sinx∈[0，1]，设t=sinx，则t∈[0，1]，则方程sin2x+asinx+4=0等价为t2+at+4=0． 当时，无解，当时，即，根据对勾函数性质可得，函数在区间内单调递减，即，由于有两个不同的解，故时只有一解，故。 例3：已知，求函数的最大值和最小值（提示：需要用到公式：）。 解：，令，故，，即，故函数的最大值为最小值为。 例4：已知，若记其最大值为，求的解析式 解：，令，， 当时，即，； 当时，即时，； 当时，即，； 综上， 例5：函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，a]上的值域为[﹣，2]，则a的范围是（　　） A．[﹣，] B．（﹣，] C．[0，] D．（0，] 解：y=sin2x+2cosx=﹣cos2x+2cosx+1=﹣（cosx﹣1）2+2，∵此函数在区间[，a]上的值域为[﹣，2]， 并且cosx能够取得最大值1时，函数值为2，∴a≥0，又x=时，函数值为，x=时，函数值为，∴a≤，所以a的取值范围是[0，]；故选：C． 1.函数y=sin2x﹣sinx+3的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知函数y=sin2x﹣3sinx+1（），则函数的值域为（　　） A．[﹣1，1] B． C． D．[﹣1，5] 3.函数y=（sinx﹣a）2+1，当sinx=a时有最小值，当sinx=1时有最大值，则a的取值范围是（　　） A．[﹣1，0] B．[﹣1，1] C．（﹣∞，0] D．[0，1] 4.函数y=cos2x+sinx的最大值是　 5.函数y=3﹣sinx﹣2cos2x的值域为　 6.函数f（x）=﹣cos2x+cosx+1，x∈[0，]的值域为　 　． 7.函数f（x）在R上既是奇函数又是减函数，且当θ∈（0，）时，f（2cos2θ+2msinθ﹣1）+f（﹣2m﹣2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是　 　． 8.关于x的方程cos2x+sinx﹣a=0有实数解，则实数a的最小值是　 　 9.已知关于x方程cos2x﹣sinx+a=0，若0＜x≤程有解，则a取值范围是　 　 10.已知sinx+siny=，则+siny﹣cos2x的取值范围是　 　． 11.已知函数f（x）是定义在（﹣∞，1]上的减函数，且对一切x∈R，不等式f（k﹣sinx）≥f（k2﹣sin2x）恒成立，则k的值为　 　． 12.若函数y=sin2x+m?cosx+m﹣在闭区间[0，]上的最大值是1，则满足条件的m值为（　　） A．或 B．或 C．或或 D． 13若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是（　　） A．[﹣1，+∞） B．[﹣1，] C．（0，] D．（1，+] 14.若a为常数，且a＞1，0≤x≤2π，则函数f（x）=﹣sin2x+2asinx的最大值为（　　） A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a﹣1 D．a2 15.设y=cos2x﹣msinx+n的最大值为0，最小值为﹣4，求m，n的值． 秒杀秘籍：三角函数与分式函数 同名函数利用分离常数法，形如 非同名函数利用数形结合的方法，形如利用单位圆与直线相交相切来解决最值问题。 例6：求值域。 解：，故，则值域为。 例7：求函数的最大值和最小值。 解：法一：如图所示，表示过点的直线与单位圆有交点时，直线的斜率，令直线方程为，原点到直线的的距离为，故函数的最大值为，最小值为0。 法二：利用辅助角公式：计算， ，解得： 16.的值域是（　　） A． B．[﹣1，1] C．[﹣2，2] D． 17.函数y=的值域是　　　　　　． 18.对于函数，下列结论正确的是（　　） A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值C．都