三角恒等变形之计算求值(1).docVIP

学习数学，领悟数学，秒杀数学。 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 4 页 三角恒等变形之计算求值 正切恒等式 证明： 故 推论： 证明： 例1： 。 解： 例2：已知，则（ ）。 A B C D 解：，故选A。 例3：已知，则（ ） A B C D 解： 即2. 例4：求的值。 解：由于，故。 例5：计算 。 解：根据45°角性质可得： 以此类推，可以得到 例6：在锐角△ABC中，tanA=t+1，tanB=t﹣1，则实数t的取值范围是（　　） A．（，+∞） B．（1，+∞） C．（1，） D．（﹣1，1） 解：由题意可知，锐角△ABC中， ，故需满足条件。 秒杀秘籍：二倍角的模型及定理 . . 降幂公式： 模型一：令，； 令，； 模型二：形如的化简 例7：若，则的值为（ ） A B C D 解： 例8：已知，求。 解： 另解：, . 例9：求值： 解： 例10：已知sin（+x）=，则sin2x=　　　　　　． 解：，故 例11：已知sinα﹣cosα=，0≤α≤π，则sin2α=　　　　　　，sin（2α﹣）=　　　　　　． 解：， 例12：已知（1+sinα）（1﹣cosα）=1，则（1﹣sinα）（1+cosα）=　　　　　　． 解：，令，则即； 。 例13：若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为　 解：， 则。 秒杀秘籍：三角恒等求值 一些非特殊角的三角恒等变形求值题，由于最后得出的是一个具体的数值，故将其设为一个元，再利用恒等变形公式计算出结果。 例14： 解：令，即 ，， 即。 例15： 解：令，即 ，则必须满足条件 。 例16：求 解：令，即，， ，，故。 例17：eq \f(3－sin 70°,2－cos210°)等于 解：令，则 ，因为为常数，故，即。 例18：化简： 解：令，即 。 例19：求值： 解：令，即 ， 即， 即， 同时除以得：。 秒杀秘籍：取值范围问题 利用恒等变形构造一元二次方程，然后利用实根分布问题求取值范围，有的需要构造二次函数或者对勾函数求取值范围，具体题目需要先进行分离变量。 例20：已知，满足tan（α+β）=4tanβ，则tanα的最大值是（　　） A． B． C． D． 解：∵tan（α+β）=4tanβ，∴=4tanβ，∴4tanαtan2β﹣3tanβ+tanα=0，①∴α，β∈（0，），∴方程①有两正根，tanα＞0，∴△=9﹣16tan2α≥0，∴0＜tanα≤．∴tanα的最大值是．故选B。 例21：△ABC的三个内角为A，B，C，若=tan，则sinB?sinC的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 解：∵，∴A=．则当且仅当B=时取等号．故选：C． 例22：若△ABC的内角A、B，满足=2cos（A+B），则tanB的最大值为　　 ． 解：∵sinA＞0，sinB＞0，∴=﹣2cosC＞0，即cosC＜0，∴C为钝角，sinB=﹣2sinAcosC， 又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=﹣2sinAcosC，即cosAsinC=﹣3sinAcosC， ∴tanC=﹣3tanA，∴tanB=﹣tan（A+C）=﹣=﹣= 当且仅当=3tanA，即tanA=时取等号，则tanB的最大值为．故答案为：． 秒杀秘籍：与类型的数形结合方法 例23：【2018全国一卷16】已知函数，则的最小值是_________． 解：如图,以为直径作一单位圆，为圆上的任意一点，，，，,故，当仅当时，取得最大值由于为奇函数，故当仅当时，的最小值是。 例24：已知函数，则的最大值是_________． 解： 如图,以为直径作一单位圆，为圆上的任意一点，，，，当仅当时，两式子同时取得最大值，故 总结：关键是一定满足同时取最值。 25.已知函数，则的最小值是_________． 26.已知函数，则的最大值是_________． 欢迎关注老唐说题的微信公众号，更多资料下载请加入QQ群758352643，数学建模，针对热点考题，会推出视频讲解！原创不易！多多包涵！