线面垂直与面面垂直判定与性质.docVIP

学习数学，领悟数学，秒杀数学。 第 PAGE 3 页 共 NUMPAGES 4 页 线面垂直于面面垂直 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义． 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2．性质定理与判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 二、平面与平面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 例1：给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是 (　　) A．1　　 　　B．2 C．3 D．4 解：命题①，④为真，命题②，③为假．选B。 例2．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有(　　) A．0条 B．1条 C．无数条 D．α内所有直线 解：可以有无数条．选C 例3．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ； ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直； ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)． 解：③中l∥α也满足，④中α与β可能相交．答案：①② 例4．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有__________(填序号) ①平面ABC⊥平面ABD②平面ABD⊥平面BCD③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE 解：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确。 几个常用的结论 (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)垂直于同一平面的两条直线互相平行；(4)垂直于同一直线的两个平面互相平行。 例5．(浙江高考)下列命题中错误的是 (　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确． 对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确． 对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a?γ，b?γ，∴l⊥γ.故命题C正确． 对于命题D，设α∩β＝l，则l?α，但l?β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．故选D。 例6．已知直线m、l和平面α、β，则能够推出α⊥β的条件是 (　　) m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l?α C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m?α 解：由eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥l,m∥α,l∥β)) α⊥β，如图，由eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥l,α∩β＝m,l?α))α⊥β，如图 由eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥l,m⊥α,l⊥β))α⊥β，如图所以选项A，B，C都不对．又选项D能推出α⊥β，所以D正确，故选D。 例7：设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β. 其