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极值点偏移专题（二） （三）通法提炼 一般地，主元法破解极值点偏移问题思路是： 第一步：根据f x1   f x2  x1  x2  建立等量关系，并结合f x  的单调性，确定 x , x 的取值范围； 1 2 第二步：不妨设x1  x2 ，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性 等价转化． 第三 ：构造关于x1 （或x2 ）的一元函数T x   f xi   f 2a  xi  i  1, 2 ，应用 导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明． 例 2. （2016 年绵阳二诊） m 1 x  2m 21 ．解： (Ⅰ)f (x)   2   2 ， ……………………………………1 分 x 2x 2x ①m ≤0 时，f (x) 0 ，f (x) 在(0 ，  ) 上单调递增，不可能有两个零点． …………………………………………………………2 分 ②m0 时，由f (x)  0 可解得x  2m ，由f (x)  0 可解得0  x  2m ， ∴ f (x) 在(0 ， 2m) 上单调递减，在(2m ，  ) 上单调递增， m 1 于是f (x) min= f (2m) =  ln 2m  1 ， ……………………………………4 分 2m 2 要使得f (x) 在(0 ，  ) 上有两个零点， m 1 e 则  ln 2m  10 ，解得0  m  ， 2m 2 2 e 即m 的取值范围为(0 ， ) ． ………………………………………………5 分 2 1 1 1 1 (Ⅱ)令t  ，则f ( )  m  2 ln  1  mt  2 ln t  1 ， x x x x 由题意知方程mt  2 ln t  1=0 有两个根 t ，t ， 1 2 ln t  2 1 1 即方程m  有两个根 t ，t ，不妨设 t = ，t = ． 1 2 1 2 2t x x 1 2 ln t  2 ln t  1  令h(t)  ，则h (t)   2 ， 2t 2t 1 1 由  可得 ，由  可得 ， h (t)  0 0  t 