数列的本质1（选）.docVIP

数列的本质——函数迭代（上） 秒杀秘籍:函数迭代和数列的关系 已知函数满足，则一定有，故函数通过反复迭代产生的一系列数构成了数列或者记为，而数列的每一项与函数迭代的关系可以如下表所示： 下面以函数和数列 数列 a1 a2 a3 a4 a5 a6 …… an an+1 函数 x f(x) f2(x) f3(x) f4(x) f5(x) …… fn-1(x) fn(x) 数列 1 3 7 15 31 63 2n-1 2n+1-1 数列 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 函数 x 2x+1 4x+3 8x+7 16x+15 32x+31 …… 2n-1x+2n-1-1 2nx+2n-1 可以发现： 数列的递推式和函数的迭代式是有着相同的法则的，故数列的任何一项都在函数上； 数列的通项公式是函数对迭代n-1次的结果，即，每一次由于迭代产生出的因变量成为下一次迭代的自变量； 数列的首相对整个数列有很大的影响，当迭代不断重复出现同一结果时，我们将其称为不动点。 函数的迭代图像 函数的迭代图像，简称蛛网图或者折线图，函数和直线共同决定。其步骤如下： （1）在同一坐标系中作出和的图像（草图），并确定不动点。（如图1，所示） 图1 图2 在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点；（图2） 由向作垂直于轴的直线与相交，并确定交点； 由向作平行于轴的直线与相交，并确定交点； 由向作垂直于轴的直线与相交，并确定交点； 重复（4）（5），直至找到点的最终去向。 例1：设数列满足 求的通项公式。 解：如图1、图2可得，函数的不动点为（-1，-1），故满足 即，由数列构成的任一点均位于函数上，故可知， ；。 例2：设数列满足 证明：存在常数M，使得对于任意的，都有。 证明：令当时，函数的不动点有，即，两个不动点； （1）如图3所示，当时，通过折线图发现，故，故当时，一定有； （2）当时，总有，故当时，一定有； （3）如图4所示，当时，通过折线图发现，故只需，一定有； 图3 图4综上，存在常数M 图3 图4 例3：首项为正数的数列{an}满足若对一切都有，求a1的取值范围。 解：令当时，函数的不动点有，两个不动点（图5）； （1）如图6所示，当时，通过折线图发现，故与题意要求不符合；（2）如图7所示，当时，总有；（3）如图8所示，当时，通过折线图发现，综上，或者时，。 图 图5 图6 图7 图8 秒杀秘籍:折线图与数列的单调性 定理1：的单调增区间存在两个不动点x1、x2（x1x2)，且在两个不动点之间形成一上凸的图形时，（如图9）则数列在两个不动点之间的区间是递增的，即，在两不动点以外的区间则是递减的，即； 定理2：的单调增区间存在两个不动点x1、x2（x1x2)，且在两个不动点之间形成一下凹的图形时，（如图10）则数列在两个不动点之间的区间是递减的，即，在两不动点以外的区间则是递增的，即； 图9 图10 综上可得，当的单调增区间位于上凸内或者下凹外时，即当迭代起点位于此区域时，一定有同理，当迭代起点位于单调增区间的上凸外或者下凹内时，一定有； 数列的极限 根据函数迭代图可知，当一数列为单调上凸曲线时，迭代点会无限靠近大的不动点，我们将这个大的不动点称为数列的极限，记为；当一数列为单调下凹曲线时，迭代点会无限靠近小的不动点，我们将这个小的不动点称为数列的极限，记为。 几种常见的函数迭代图（未画折线） 顶点为不动点抛物线； 顶点为不动点的抛物线； 横着的抛物线； 二四象限反比例函数的平移函数；请思考： 1.一给定函数的图像如图所示，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图像是 （ ） A