向量的内外心定理.docVIP

秒杀秘籍：外心定理 垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等； ，；； 证明：如图，中，D、E、F分别为AD、AC、BC边中点，O为外心，则， 同理可证：。 ，， 证明：； 同理，； 同理，； (4)，，（证明略） 外心与内心在向量中的应用 例1.如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则的值（　　） A． B．12 C．6 D．5 解： 例2.设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），=k（+）（k∈R）．若cos∠BAC=，则k=（　　）A． B． C． D． 解：； 故，选A。 例3.已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为　　　　　　． 解：，， 1.已知A，B，C是圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 2.在△ABC中，AB=3，AC=5，且O是△ABC的外心，则?的值是（　　） A．8 B．﹣1 C．1 D．8 3.如图，O为△ABC的外心，AB=6，AC=4，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则=（　　）A．﹣10 B．36 C．16 D．13 4.如图所示，在△ABC中，AB=4，AC=2，若O为△ABC的外心．（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）求?的值；（Ⅲ）若平面内一点P满足（+）?=（+）?=（+）?=0， 试判定点P的位置． 5.如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，A=45°，O为△ABC的外心，则?等于（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 6.已知O为△ABC的外心，AB=2，AC=4，cos∠BAC=，若=x+y，则x+y=　　　　　　． 7.已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且=λ+（λ∈R），则△ABC的面积是　　　　　　． 8.已知O是△ABC的外心，若AB=AC，∠CAB=30°，且=λ1+λ2，则λ1λ2=　　　　　　． 9.已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，则?=（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣ D． 10.在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且=5，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 11.如图，在圆C中，C是圆心，点A，B在圆上，?的值（　　） A．只与圆C的半径有关 B．只与弦AB的长度有关 C．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关 D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值 12.已知点O是锐角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=．若，则6x+9y=　　　　　　． 13.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且的值是（　　） A．3 B． C． D．1 14.△ABC外接圆的半径为2，圆心为O，且2++=，||=||，则?的值是（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 15.△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，++=，且||=||，在方向上的投影为（　　） A．﹣3 B．﹣ C． D．3 16.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，||=||=||=1，，A（1，1），则的取值范围（　　） A．[﹣1﹣，﹣1] B．[﹣﹣，﹣+] C．[﹣，+] D．[1﹣，1+] 秒杀秘籍：内心定理※ （1）角平分线的交点，到三条边的距离相等； （2）内角平分线定理：(利用面积比证明) （3），同理； （4），同理可得： ； (5)； 证明：如图，中，AD、BF、CE分别为的平分线，O为内心，则 例4：在△ABC中，AB=BC=2，AC=3，设O是△ABC的内心，若=p+q，则的值为　　　　　　． 解： 故。本题可以不用秘籍公式，直接利用角平分线性质。 例5：设I是直角△ABC的内心，其中AB=3，BC=4，CA=5，若，则x+y=（　　） A． B． C． D． 解： 故 例6：如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已AC=3，BC=4，AB=5，过圆心O的直线l交圆O于P、Q两点，则?的取值范围是　　　　　　． 解：根据直角三角形的特殊性质可知：；，； ；根据图形可知，故。 17.设O是边长为1的等边△ABC的内心，则=（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 18.在△ABC中，|AB|=5，|AC|=12，|BC|=13，O为△ABC的内心，且=λ+μ，则λ+μ=　　　　　　． 19.已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB=c，AC=b，BC=a．若a+b+c=，则I一定是△ABC的（　　） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 20.已知在△ABC中，AB=BC=3，AC=4，设O是△ABC的内心，若，则m：n=　　　　　　． 21.已知l是△ABC