高考数学母题：四心向量.docVIP

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(12-29):四心向量(289) 729 四心向量 [母题]Ⅰ(12-29):设点P是△ABC内一点,则x+y+z=0的充要条件是x:y:z=S△PBC:S△PCA:S△PAB. [解析]:如图,分别延长PA、PB、PC到A1、B1、C1,使得PA1=xPA,PB1=yPB,PC1=zPC,则=x, =y,=z;由x+y+z=0++=0P是△A1B1C1的重心 ==;由:S△PBC=PB1PC1:PBPC=yz=yzS△PBC;同理可得:=zxS△PCA,=xyS△PAByzS△PBC=zxS△PCA=xyS△PABx:y:z=S△PBC:S△PCA:S△PAB. [点评]:由该母题立得三角形四心的向量表达式(这是一个多么完美的母题):①P是△ABC的重心++=0;②P是△ABC的外心sin2A+sin2B+sin2C=0;③P是△ABC的内心a+b+c=0;④P是△ABC的垂心tanA+tanB+tanC=0;④在△ABC中,若O、H分别是△ABC的外心和垂心,则:=++;⑤若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,则=2(欧拉定理). [子题](1):(2005年全国Ⅰ高考试题)点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是△ABC的( ) (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 [解析]:由(-)=0=0OB⊥ACO在AC边的高线上.故选(D). 注:由该题可得:P是△ABC的垂心==+=+=+;在同年高考中,还有:(2005年湖南高考试题)P是△ABC所在平面上一点,若=,则P是△ABC的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 垂心的动态表示:动点P满足P过△ABC的垂心. [子题](2):(2003年新课程高考试题)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+ λ(),则P的轨迹一定通过△ABC的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 [解析]:由=+λ()=λ()P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选(B). 注:关于△ABC的内心,除注意该题给出动态表示,还应掌握母题中给出的静态表示;三角形四心向量有三个层次的问题:①以静态向量为载体,确定“心”,突出“定”;②以动态向量为载体,穿过“心”,突出“动”;③运用“心”,突出“用”. [子题](3):(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知O是锐角△ABC的外心,AB=6,AC=10,若=x+y, 且2x+10y=5,则cos∠BAC= . [解析]:由=x+y=x+y2=260xcos∠BAC+100y=50cos∠BAC==. 注:关于△ABC的外心:㈠静态表示:P是△ABC的外心2=2=2;㈡动态表示:动点P满足+ P过△ABC的外心;㈢基本结论:若O是△ABC的外心,则:=(2-2). [子题系列]: 1.(2009年课标高考试题)己知点O、N、P在△ABC所在的平面内,且,=0,= 730 [母题]Ⅰ(12-29):四心向量(289) ,则点O、N、P依次是的( ) (A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心 (C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心 2.(2010国高中数学联赛广东初赛试题)设O是平面上一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足-λ=+λ,其中λ∈[0,+∞),则点P的轨迹为 . 3.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)O是平面内一点,A、B、C是平面内与O不共线的三个点,P是BC的中点且使等式λ()+=成立,则△ABC是( ) (A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)等腰三角形 (D)不等边三角形 4.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知A、B、C是平面上不共线的三点,O