高考数学母题：四面体问题 .docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-29):四面体问题(343) 885 四面体问题 [母题]Ⅰ(14-29):(2010年辽宁高考试题)有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值范围是( ) (A)(0,+) (B)(1,2) (C)(-,+) (D)(0,2) [解析]:以两根长都为a的直铁条的位置分类:①若共面,设AB=AC=a, 在四面体ABCD中,取BC的中点E,则AE=(a1),DE=;由AE +DEAD+2,且+2a -a+;②若异面,设AB=CD=a,则四面体ABCD的对棱相为长方体的内接四面体△ABC为锐角三角形a222+220a2.综上,a的取值范围是(0,+).故选(A). [点评]:正四面体是最为简约的多面体,又是立体几何中最基本的几何体,其地位相当于三角形在平面几何中的地位;正四面体是产生立体几何试题的母体. [子题](1):(2012年重庆高考试题)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是( ) (A)(0,) (B)(0,) (C)(1,) (D)(1,) [解析]:设四面体ABCD中,BC=a,AD=,在△BCD中,因为两边之和大于第三边可得: 0a2;取BC中点E则AE=ED=;由两边之和大于第三边2 a.故选(A). 注:解决六条线段构成四面体的充要条件的关键在于构造含未知线段的三角形并利用三角形两边之和大于第三边. [子题](2):(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)如图, 已知四面体ABCD中,AD=BC=1,E、F分别是AB、CD上的点,且==, EF=a,(a0),则AD和BC所成角的余弦值= . [解析]:过E作EG∥BC交AC于G,则==FG∥AD,且 EG=BC=,FG=AD=cos∠EGF=AD和BC所成角的余弦值=. 注:以四面体为载体构造三类角问题可以命制难度适中且简约的立体几何试题. [子题](3):(2005年全国高中数学联赛试题)四面体DABC的体积为,且满足∠ACB=450,AD+BC+=3,则CD= . [解析]:因(AC×BCsin450)AD≥VD-ABC=AD×BC≥1,又3=AD+BC+≥3≥3,等号当且仅当AD= BC==1时成立,这时AB=1,AD⊥面ABCCD=. 注:以四面体为载体还可构造灵活多变的综合性试题. [子题系列]: 886 [母题]Ⅰ(14-29):四面体问题(343) 1.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)长度分别为1,a,a,a,a,a的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是( ) (A)0a (B)0a2 (C)a (D)a 2.(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)以1,1,1,,,为六条棱长的四面体个数为 . 3.(2008年全国高中数学联赛江西初赛试题)四面体ABCD的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41,且知AB=41,则CD= . 4.(1992年全国高中数学联赛试题)设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,它们的最大值为S,记λ=/S,则λ一定满足( ) (A)2λ≤4 (B)3λ4 (C)2.5λ≤4.5 (D)3.5λ5.5 5.(2003年辽宁高考试题)对于四面体ABCD,给出下列四个命题:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.其中真命题的序号是 (写出所有真