高考数学母题：对偶思想.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(20-67):对偶思想(589) 1483 对偶思想 [母题]Ⅰ(20-67):(2009年北京高考试题)(理)若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b=( ) (A)45 (B)55 (C)70 (D)80 [解析]:由(1+)5=a+b(1-)5=a-ba=,a2-2b2=-1;令xn=,则x1=1,x2 =3,xn+2=2xn+1+xnx3=7,x4=17,a=x5=41412-2b2=-1b2=841b=29a+b=70.故选(C). [点评]:在数学中普遍存在对偶现象,对偶思想是解决数学问题的一种重要思想方法;我们把(a+b)n与(a-b)n称为对偶式,对偶思想在二项式中的表现是:构造对偶式与递推式的结合:①对偶结论:若(a+b)n=xn+yn,则(a-b)n=xn-yn xn=,yn=,xn2-pyn2=(a2-pb2)n;②递推关系:若xn=Aan+Bbn,由(a+b)(Aan+1+Bbn+1)- ab(Aan+Bbn)=Aan+2+Bbn+2xn+2=(a+b)xn+1-abxn. [子题](1):(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)(+)2010的小数点后一位数字是 . [解析]:因(+)2010+(-)2010为整数,则(+)2010的小数部分为1-(-)2010,又因0(-)20100.21005 0.008300,所以0.91-(-)20101,可知(+)2010的小数点后一位数字是9. 注:由二项式定理可得:若p,q为质数,m,k∈N+,则(m+k)2n+(m-k)2n为整数. [子题](2):(2014年全国高中数学联赛广东初赛试题)已知(+1)21=a+b,其中a和b为正整数,则b与27的最大公约数是 . [解析]:由(+1)21=a+b(1-)21=a-ba=,a2-2b2=-1;令xn=,则x1=1, x2=3,xn+2=2xn+1+xnx3=7,x4=17,x5=41≡14(mod27)x6≡8(mod27),x7≡3(mod27),x8≡14(mod27),x9≡4(mod27),x10≡22 (mod27),x11≡21(mod27),x12≡10(mod27),x13≡14(mod27),x15≡11(mod27),x16≡9(mod27),x17≡2(mod27),x18≡13(mod27), x19≡1(mod27),a=x21≡15(mod27)152-2b2≡-1(mod27)b2≡5(mod27)b与27的最大公约数=1. 注:若(mk)n=ab(p为质数,m,k,a,b∈N+),则a=,a2-pb2=(m2-pk2)n. [子题](3):(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)设S是集合{1,2,…,15}的一个非空子集,若正整数n满足:n∈S,n+|S|∈S,则称n是子集S的模范数,这里|S|表示集合S中元素的个数.对集合{1,2,…,15}的所有非空子集S,模范数的个数之和为 . [解析]:若n是S的一个模范数,S含有k个元素,则n∈S,n+|S|∈Sk≥2;又k≤15-n.S的其他k-2个元素有C13k-2种取法,故n为模范数时,共有C130+C131+…+C1313-n个.当n=1,2,…,13,模范数的总数为A=13C130+12C131+…+C1312A=C131+2C132+…+13C13132A=13(C130+C131+…+C1313)=13×213.所以对集合{1,2,…,15}的所有非空子集S,模范数的个数之和为13×212. 注:对偶思想解题的关键是构造对偶式,由组合的对称性:Cnk=Cnn-k是构造对偶式的方法之一. [子题系列]: 1.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)记M=(5+)2n(n∈N*),N是M的小数部分,则M(1-N)的值是 . 2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知(1+)n=an+bn,其中an,bn是整数,则= .